Question

（2009?武昌區(qū)模擬）在xOy平面內，有許多電子從坐標原點O不斷以大小為v₀的速度沿不同的方向射入第一象限，如圖所示．現(xiàn)加上一個垂直于xOy平面向里的磁感應強度為B的勻強磁場，要求進入該磁場的電子穿過該磁場后都能平行于y軸向y軸負方向運動．已知電子的質量為m、電荷量為e．（不考慮電子間的相互作用力和重力，且電子離開O點即進入磁場．）
（1）求電子做作圓周運動的軌道半徑R；
（2）在圖中畫出符合條件的磁場最小面積范圍（用陰影線表示）；
（3）求該磁場的最小面積．

Answer 1

分析：（1）從第一象限射入的電子，速度的大小相同，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，寫出方程，求得電子運動的半徑；
（2）作出平行于y軸入射的電子軌跡和平行于x軸入射的電子的軌跡，兩個電子的運動半徑相同，通過幾何關系可知可得知磁場最小面積時的圖形．
（3）結合平行于y軸射入的電子和平行于x軸方向射入的電子的軌跡，結合幾何關系可得知磁場最小面積時的圖形，從而可得出最小面積．

解答：解：（1）設電子在磁場中運動的半徑為R，由牛頓第二定律得：ev0B=m

v2

R

：
R=

mv0

eB

（2）如圖所示，初速度沿y軸正方向的電子運動的軌跡構成磁場的“最小面積”對應的上邊界a，其表達式為：
（x-R）²+y²=R² ①，（其中0≤x≤2R，0≤y≤R）
當電子與x軸成α角入射時，電子從坐標為（x，y）的P點射出磁場，則所有出射點的方程有：
（x-R）²+y²=R²②，
上式即為磁場的右下邊界b．
當電子與x軸成α=0角入射時，電子的運動軌跡構成磁場的左下邊界c，其表達式為：
x²+（R-y）²=R²  ③
由①②③所包圍的面積就是磁場的最小范圍，如圖所示：
（3）最小面積：S=R2+

πR2

2

=

(2+π)R2

2

=

2+π

2

?

m2 v 2 0

e2B2

答：（1）電子做作圓周運動的軌道半徑R=

mv0

eB

；
（2）在圖中畫出符合條件的磁場最小面積范圍如圖；
（3）該磁場的最小面積為

2+π

2

?

m2 v 2 0

e2B2

．

點評：本題在審題時要關注以下兩點：
（1）從第一象限射入的電子，速度的大小相同，速度的方向（與x軸的正方向）分布在0°到90°的范圍內．
（2）能夠正確畫出粒子射出磁場的邊界．