Question

一邊長為L的正方形閉合金屬導線框，其質量為m，回路電阻為R，圖中M、N、P為磁場區域的邊界，且均為水平，上下兩部分磁場的磁感應強度均為B，方向如圖所示． 圖示位置線框的底邊與M重合．現讓線框由圖示位置由靜止開始下落，線框在穿過N和P兩界面的過程中均為勻速運動．若已知M、N之間的高度差為h₁，h₁＞L，線框下落過程中線框平面始終保持豎直，底邊始終保持水平，重力加速度為g．求：
（1）N與P之間的高度差h₂；
（2）在整個運動過程中，線框中產生的焦耳熱．

Answer 1

分析：（1）在穿過N和P的過程中，由E=BLv可得產生的感應電動勢，由此可表示感應電流，求得線圈受到的安培力；
由于是勻速運動，故安培力等于重力，由此可得過N和P的速度；在全部進入NP到開始出P界面的過程中，穿過線圈的磁通量不變，只有重力做功，由機械能守恒可得N和P間的高度差．
（2）由能量守恒，可得穿過M時產生的電熱；
在穿過N和P的過程中，重力和安培力相等，且位移相同，都是L，故可得這兩個過程中安培力的功，即等于產生的熱量．

解答：解：
（1）在穿過N的過程中，線框中產生的電動勢：
E=2BLv₁
線框中產生的電流：
I=

E

R

=

2BLv1

R

線框受到的安培力：
F=2BIL=

4B2L2v1

R

由平衡得：
mg=

4B2L2v1

R

v1=

mgR

4B2L2

同理線框穿過P過程中的運動速度：
v2=

mgR

B2L2

由機械能守恒定律得：
mg(h2-L)=

1

2

mv22-

1

2

mv12
h2=L+(v22-v12)?

1

2g

解得：
h2=L+

15m2gR2

32B4L4

；
（2）由能量守恒，可得穿過M時產生的電熱：
Q1=mgh1-

1

2

mv12=mgh1-

m3g2R2

32B4L4

穿過N和P時產生的電熱都為：Q₂=mgL
共產生熱量：
Q=Q₁+Q₂=2mgL+mgh1-

m3g2R2

32B4L4

答：
（1）N與P之間的高度差h2=L+

15m2gR2

32B4L4

（2）在整個運動過程中，線框中產生的焦耳熱Q=2mgL+mgh1-

m3g2R2

32B4L4

．

點評：本題難點在于求NP的高度差，解決的突破口是線框在穿過N和P兩界面的過程中均為勻速運動，這是題眼，其余是綜合知識的應用，難度相對較大．