Question

（12分）已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度大小為g，萬有引力常量為G，不考慮地球自轉的影響．試求：
（1）衛星環繞地球運行的第一宇宙速度的大小；
（2）若衛星繞地球做勻速圓周運動且運行周期為T，求衛星運行的軌道半徑r；
（3）由題干所給條件，推導出地球平均密度的表達式．

Answer 1

（1）（2）（3）

（12分）解：（1）設衛星的質量為m，地球的質量為M，根據萬有引力定律，物體在地球表面附近滿足（2分），第一宇宙速度是指衛星在地面附近繞地球做勻速圓周運動的速度，衛星做圓周運動的向心力等于它受到的萬有引力，即
（2分），【或（4分）】，聯立解得（1分）
（2）根據（2分），聯立解得（1分）
（3）將地球看成是半徑為的均勻球體，其體積為（1分）
地球的平均密度（2分），聯立解得（1分）