Question

如圖所示，在豎直平面內有一平面直角坐標系xoy，第一、四象限內存在大小相等方向相反且平行于y軸的勻強電場．在第四象限內某點固定一個點電荷Q（假設該點電荷對第一象限內的電場無影響）．現有一質量為m=9×10^-4kg，帶電量為 q=3×10^-12C的帶電微粒從y軸上A 點（y=0.9cm）以初速度v₀=0.8m/s垂直y軸射入第一象限經x軸上的B點進入第四象限做勻速圓周運動且軌跡與y軸相切（圖中A、B及點電荷Q的位置均未標出）．不考慮以后的運動．（重力加速度g=10m/s²，靜電力常量k=9.0×10⁹Nm/C²、，、sin37°=0.6，cos37°=0.8）試求：
（1）點電荷通過B的速度（要求畫出帶點微粒運動軌跡）
（2）點電荷Q的電荷量．

Answer 1

分析：根據粒子在第四象限做勻速圓周運動可知，根據題設條件知，重力和原電場力是平衡力，點電荷對粒子的庫侖力提供圓周運動的向心力，由此可以算出此時重力和電場力平衡從而求得電場強度的大小，在第一象限電場和第四象限相反，故此時電場力和重力同向，可得粒子在第一象限做類平拋運動，根據類平拋運動規律和粒子的初速度可以求出粒子在B點的速度；再根據第四象限圓周運動的特征和粒子進入第四象限的速度位置特征可求出粒子的半徑，根據點電荷Q對粒子的庫侖力提供粒子圓周運動的向心力從而求出粒子的庫侖力，根據圓周運動半徑關系可得點電荷Q的電荷量．

解答：（1）由于粒子在第四象限做勻速圓周運動，因此重力和電場力平衡，即：mg=Eq
所以粒子在第一象限做類平拋運動，其加速度大小為：a=

2mg

m

=20m/s²
微粒在第一象限運動時間為：t=

2y a

=0.03s
通過B點沿y軸負方向 的速度為：V_y=at=0.6m/s
微粒通過B點速度為：v=

v 2 x + v 2 y

=1m/s
方向與x軸正向夾角為：tanθ=

vy

vx

=

3

4

（2）微粒在0.03秒內沿x方向的位移為：X=v_xt=0.024m
設微粒做圓周運動的半徑為r，由圖可知：
r+rsinθ=x
r=0.015m
微粒在第四象限做圓周運動的向心力為庫侖力，根據牛頓第二定律：k

qQ

r2

=m

v2

r

代入數據解得：Q=5×10^-7C．
答：（1）點電荷通過B點的速度v=1m/s，方向與x軸正向夾角為tanθ=

vy

vx

=

3

4

，軌跡如圖所示：
（2）點電荷Q的電荷量為Q=5×10^-7C．

點評：根據運動的特征，粒子在第四象限做勻圓周運動，因為勻速圓周運動物體所受合外力提供向心力，可知，此時必有重力和原勻強電場的電場力平衡．第一象限和第四象限的電場方向相反，故第一象限內重力和電場力方向相同，大小相等，粒子在第一象限做類平拋運動，加速度為2g，根據類平拋運動和圓周運動的特征利用幾何關系作答．