Question

（2010?鹽城一模）如圖所示．一簇質量均為m、電量均為q的離子，在P點以同一速率v沿xoy上半平面中的各個方向射出，在P點左側靠近P點處有一豎直放置的擋板．現加一垂直于xoy平面的磁感應強度為B的有界勻強磁場，可將這些離子聚焦到R點，P點與R點相距為2a，離子軌跡關于y軸對稱．試求：
（1）離子在磁場中運動的軌跡半徑
（2）當

mv

Bq

=a時，與x軸成30°角射出的離子從P點到達R點的時間．
（3）試推出在x＞0的區域中磁場的邊界點坐標x和y滿足的關系式．（沒有問題，最多改為“x、y滿足的關系式”）

Answer 1

分析：（1）離子進入磁場后，受到洛倫茲力作用做勻速圓周運動，根據向心力公式即可求解；
（2）先根據幾何關系求出進入和離開磁場時的坐標，求出粒子運動的路程，根據時間等于路程除以速率求解；
（3）根據幾何關系表示出x、y與半徑r的關系，帶入數據即可得出x與y之間滿足的關系式．

解答：解：（1）離子進入磁場后，受洛侖茲力作用，由牛頓第二定律得：
Bqv=

mv2

r

整理得：r=

mv

qB

（2）如圖所示，由幾何關系可得，離子進入磁場A點坐標為（-

a

2

，

3

6

a）離開磁場B點坐標為（

a

2

，

3

6

a）

由幾何關系，離子運動的路程為：
s=

2 3

3

a+

π

3

r=

2 3

3

a+

π

3

a
則t=

s

v

=

(2 3 +π)a

3v

或t=

s

v

=

(2 3 +π)m

3Bq

（3）在x＞0的區域內，令離子離開磁場后與x軸夾角為θ．
由幾何關系得：x=rsinθ
y=(

a

cosθ

-rtanθ)sinθ
代入相關數據并化簡得：y=

(ax-x2)Bq

m2v2-B2q2x2

答：（1）離子在磁場中運動的軌跡半徑r=

mv

qB

（2）當

mv

Bq

=a時，與x軸成30°角射出的離子從P點到達R點的時間t=

(2 3 +π)a

3v

或t=

(2 3 +π)m

3Bq

．
（3）在x＞0的區域中磁場的邊界點坐標x和y滿足關系式y=

(ax-x2)Bq

m2v2-B2q2x2

．

點評：本題是帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，要求同學們能畫出粒子運動的軌跡，結合幾何關系求解，知道半徑公式及周期公式，難度較大．