Question

如圖所示，半圓有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的圓心O₁在x軸上，OO₁距離等于半圓磁場(chǎng)的半徑，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₁．虛線(xiàn)MN平行x軸且與半圓相切于P點(diǎn)．在MN上方是正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小為E，方向沿x軸負(fù)向，磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₂．B₁、B₂方向均垂直紙面，方向如圖所示．有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向從原點(diǎn)O射入第I象限，其中沿x軸正方向進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子經(jīng)過(guò)P點(diǎn)射入MN后，恰好在正交的電磁場(chǎng)中做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，粒子質(zhì)量為m，電荷量為q （粒子重力不計(jì)）．求：
（1）粒子初速度大小和有界半圓磁場(chǎng)的半徑．
（2）若撤去磁場(chǎng)B₂，則經(jīng)過(guò)P點(diǎn)射入電場(chǎng)的粒子從y軸出電場(chǎng)時(shí)的坐標(biāo)．
（3）若撤去磁場(chǎng)B₂，設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的初速度與x軸的夾角為θ，試寫(xiě)出粒子打到y(tǒng)軸上的坐標(biāo)與θ的關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）在MN上方，粒子做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力與電場(chǎng)力平衡，根據(jù)平衡條件列式求解速度；
粒子從O到P過(guò)程，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心在OP連線(xiàn)的角平分線(xiàn)上；初速度沿x軸正方向，洛倫茲力指向圓心，提供向心力，結(jié)合左手定則可知，圓心一定在y軸上，故M點(diǎn)為軌跡圓的圓心；
（2）若撤去磁場(chǎng)B₂，則經(jīng)過(guò)P點(diǎn)射入電場(chǎng)的粒子做類(lèi)似平拋運(yùn)動(dòng)，平行y軸方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，平行x軸方向做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解即可；
（3）根據(jù)幾何關(guān)系可以證明，題中所有從原點(diǎn)射入第Ⅰ象限的粒子都能在正交的電磁場(chǎng)中做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)；故粒子做類(lèi)似平拋運(yùn)動(dòng)，然后根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式列式求解．

解答：解：（1）在MN上方，粒子做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力與電場(chǎng)力平衡，故qv₀B₂=Eq；
解得：v0=

E

B2

由題意知粒子在磁場(chǎng)B₁中圓周運(yùn)動(dòng)半徑與該磁場(chǎng)半徑相同，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有
qv₀B₁=m

v 2 0

R

 解得  R=

mv0

qB1

=

mE

qB1B2

（2）在電場(chǎng)中粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)：
x=R=

Eqt2

2m

  
y=v0t=

E

B2

2mR Eq

=

mE

qB2

2 B1B2

故y′=y+R=

mE

qB2

(

2 B1B2

+

1

B1

)
（3）設(shè)粒子出B₁磁場(chǎng)與半圓磁場(chǎng)邊界交于Q點(diǎn)，如圖所示，
 
找出軌跡圓心，可以看出四邊形OO₁O₂Q四條邊等長(zhǎng)是平行四邊形，所以半徑O₂Q與OO₁平行．從Q點(diǎn)出磁場(chǎng)速度與O₂Q垂直，所以垂直進(jìn)入MN邊界．
由幾何關(guān)系：x_Q=R-Rsinθ     
粒子在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，x_Q=

1

2

at²      y′′=R+v₀t       a=

qE

m

解上式得：y′′=

mE

qB1B2

+

mE

q B   2

2(1-sinθ) B1B2

答：（1）粒子初速度大小為，有界半圓磁場(chǎng)的半徑為

mE

qB1B2

；
（2）若撤去磁場(chǎng)B₂，則經(jīng)過(guò)P點(diǎn)射入電場(chǎng)的粒子從y軸出電場(chǎng)時(shí)的坐標(biāo)為

mE

qB2

(

2 B1B2

+

1

B1

)；
（3）粒子打到y(tǒng)軸上的坐標(biāo)與θ的關(guān)系式為y′′=

mE

qB1B2

+

mE

q B   2

2(1-sinθ) B1B2

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵明確粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后平衡條件和牛頓第二定律列式分析求解；對(duì)于第三問(wèn)，關(guān)鍵明確題中所有從原點(diǎn)射入第Ⅰ象限的粒子都能在正交的電磁場(chǎng)中做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，離開(kāi)B₁磁場(chǎng)時(shí)速度全部平行．