Question

【題目】如圖所示，以O為圓心、半徑為R的圓形區域內存在垂直圓面向里、磁感應強度為B的勻強磁場，一粒子源位于圓周上的M點，可向磁場區域內垂直磁場沿各個方向發射質量為m、電荷量為－q的粒子，不計粒子重力，N為圓周上另一點，半徑OM和ON間的夾角為θ，且滿足。

(1)若某一粒子以速率v1沿MO方向射入磁場，恰能從N點離開磁場，求此粒子的速率v1；

(2)若某一粒子以速率v2＝沿與MO成70°角斜向上方射入磁場，求此粒子在磁場中運動的時間；

(3)若由M點射入磁場各個方向的所有粒子速率均為v3＝，求磁場中有粒子通過的區域面積。（計算結果可用根式表示）

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

（1）某一粒子以速率v1，沿MO方向射入磁場，恰能從N點離開磁場，由幾何關系求得其做勻速圓周運動的半徑，由洛侖茲力提供向心力求出入射速度v1；

（2）某一粒子以速率，沿與MO成70°角斜向上方向射入磁場，由半徑公式知，該粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑等于磁場區域的半徑，由幾何關系知道，該粒子的軌跡和偏轉角均能求出，從而求出該粒子運動的時間；

（3）若由M點射入磁場各個方向的所有粒子速率均為，這些粒子在磁場中有相同的半徑，則圓心軌跡是以M為圓心、半徑為的圓。試著畫出極端情況下粒子能達到的區域，從而把粒子能到達的整個區域面積求出來。

（1）如圖所示，由幾何關系可知，，解得：

粒子在磁場中做圓周運動，洛倫茲力提供向心力：，解得：

（2）粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，設軌跡半徑為

洛倫茲力提供向心力：，得，其中，解得：

粒子沿與與MO成70°方向進入磁場，設粒子從區域邊界P射出，其運動軌跡如圖所示：

由圖中幾何關系可知粒子軌跡所對應的圓心角為α=160°

粒子運動周期：

則粒子在磁場中的運動的時間：

（3）粒子沿各個方向以進入磁場做勻速圓周時的軌跡半徑都為，且不變，如圖所示

由圖可知，粒子在磁場中通過的面積等于以為圓心的扇形的面積、以M為圓心的扇形的面積和以O點為圓心的圓弧MQ與直線MQ圍成的面積之和。

，，

所以：