Question

我國發(fā)射的“嫦娥一號”衛(wèi)星發(fā)射后首先進(jìn)入繞地球運行的“停泊軌道”，通過加速再進(jìn)入橢圓“過渡軌道”，該軌道離地心最近距離為L₁，最遠(yuǎn)距離為L₂，衛(wèi)星快要到達(dá)月球時，依靠火箭的反向助推器減速，被月球引力“俘獲”后，成為環(huán)月球衛(wèi)星，最終在離月心距離L₃的“繞月軌道”上飛行．已知地球半徑為R，月球半徑為r，地球表面重力加速度為g，月球表面的重力加速度為g/6，求：
（1）衛(wèi)星在“停泊軌道”上運行的線速度；
（2）衛(wèi)星在“繞月軌道”上運行的線速度．
（3）假定衛(wèi)星在“繞月軌道”上運行的周期內(nèi)為T，衛(wèi)星軌道平面與地月連心線共面，求在該一個周期內(nèi)衛(wèi)星發(fā)射的微波信號因月球遮擋而不能到達(dá)地球的時間（忽略月球繞地球轉(zhuǎn)動對遮擋時間的影響）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)萬有引力提供向心力和地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，由以上二式可解得衛(wèi)星在“停泊軌道”上運行的線速度v₁．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力和在月球表面的物體受到的重力等于萬有引力，由以上二式可解得衛(wèi)星在“繞月軌道”上運行的線速度v₂．
（3）根據(jù)題意畫出地球和月球的平面示意圖，作出地月球面的公切線，找出衛(wèi)星運動時發(fā)出的信號被遮擋所在的圓弧．
根據(jù)萬有引力定律求出探月衛(wèi)星繞月球轉(zhuǎn)動的周期．
由幾何關(guān)系求出發(fā)出的信號被遮擋所在的圓弧所對應(yīng)的圓心角，再結(jié)合周期求出信號被遮擋的時間．

解答：解：（1）根據(jù)萬有引力提供向心力
G

M地m

L12

=m

v12

L1

根據(jù)地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，
G

M地m

R2

=mg
得 v1=

gR2 L1

（2）根據(jù)萬有引力提供向心力
G

M月m

L32

=m

v22

L3

根據(jù)在月球表面的物體受到的重力等于萬有引力
G

M月m

r2

=mg月
v2=

gr2 6L3

（3）如圖，O和O′分別表示地球和月球的中心．在衛(wèi)星軌道平面上，A是地月連心級OO′與地月球面的公切線ACD的交點，D、C和B分別是該公切線與地球表面、月球表面和衛(wèi)星圓軌道的交點，根據(jù)對稱性，過A點在另一側(cè)作地月球面的公切線，交衛(wèi)星軌道于E點．衛(wèi)星在圓弧BE上運動時發(fā)出的信號被遮擋．

cosβ=∠COB=

r

L3

cosα=∠DOA=

R-r

L2-L1

gR2 L1

t=

α-β

π

T=（arccos

R-r

L2-L1

-arccos

r

L3

）

T

π

答：（1）衛(wèi)星在“停泊軌道”上運行的線速度是

gR2 L1

；
（2）衛(wèi)星在“繞月軌道”上運行的線速度是

gr2 6L3

．
（3）在該一個周期內(nèi)衛(wèi)星發(fā)射的微波信號因月球遮擋而不能到達(dá)地球的時間是（arccos

R-r

L2-L1

-arccos

r

L3

）

T

π

點評：12、本題要掌握天體運動的兩個關(guān)系：萬有引力提供向心力和星球表面的物體受到的重力等于萬有引力．
3、本題的關(guān)鍵是要能夠根據(jù)題意作出物理情景圖象，找出所要求解的運動區(qū)域．
數(shù)學(xué)幾何關(guān)系的應(yīng)用也是解決本題的關(guān)鍵．