Question

（2003?珠海模擬）如圖所示，兩條互相平行的光滑金屬導軌位于水平面內，距離為l=0.2m，在導軌的一端接有阻值為R=0.5Ω的電阻，在X≥0處有一與水平面垂直的均勻磁場，磁感強度B=0.5T．一質量為m=0.1kg的金屬直桿垂直放置在導軌上，并以v₀=2m/s的初速度進人磁場，在安培力和一垂直于桿的水平外力 F的共同作用下作勻變速直線運動，加速度大小為a=2m/s²，方向與初速度方向相反．設導軌和金屬桿的電阻都可以忽略，且接觸良好，求：
（1）電流為零時金屬桿所處的位置；
（2）電流為最大值的一半時施加在金屬桿上外力 F的大小和方向；
（3）保持其他條件不變，而初速度v₀取不同值，求開始時F的方向與初速度v₀取值的關系．

Answer 1

分析：（1）電流為0時，電動勢為0，切割的速度為0．即知電流為0的位置為金屬桿勻減速運動速度為0的位置，根據勻變速運動的公式求出金屬桿的位移．
（2）當速度為v₀時，電動勢最大，電流最大，根據E=BLv，結合閉合電路歐姆定律，可以求出最大電流．從而可以求出電流為最大值的一半時所受的安培力，根據牛頓第二定律求出外力的大小和方向．（要考慮金屬桿的運動方向）
（3）開始時，金屬桿所受的安培力FA=BIL=

B2L2v0

R

若F_A＜ma，F方向與x軸相反；F_A＞ma，F方向與x軸相同．

解答：解：（1）感應電動勢E=Blv，I=

E

R

當I=0時  v=0
由 2ax=v2-v02得：
金屬桿的位移為：x=

v02

2a

=

22

2×2

m=1m                                 
（2）金屬棒速度最大時最大電流 為 Im=

BLv0

R

 
I′=

Im

2

=

BLv0

2R

此時安培力為：FA=BI′L=

B2L2v0

2R

=0.02N                        
向右運動時由牛頓第二定律得：F+F_A=ma
即：F=ma-F_A=0.18N       方向 與x軸相反                 
向左運動時由牛頓第二定律得：F-F_A=ma
F=ma+F_A=0.22N       方向與x軸相反                 
（3）開始時 v=v₀，此時安培力為：FA′=BImL=

B2L2v0

R

由牛頓第二定律得：F+F_A′=ma，F=ma-F_A′=ma-

B2L2v0

R

當v₀＜

maR

B2L2

=10m/s  時，F＞0  方向與x軸相反              
   當v₀＞

maR

B2L2

=10m/s   時，F＜0  方向與x軸相同．
答：（1）電流為零時金屬桿所處的位置x=1m；
（2）電流為最大值的一半時施加在金屬桿上外力 F的大小為0.18N，方向 與x軸相反，或0.22N，方向與x軸相反；
（3）當v₀＜

maR

B2L2

=10m/s 時，F＞0  方向與x軸相反    
當v₀＞

maR

B2L2

=10m/s 時，F＜0  方向與x軸相同．

點評：解決本題的關鍵正確地對金屬桿進行受力分析，靈活運用牛頓第二定律．以及掌握導體棒切割磁感線產生的感應電動勢E=BLv．