Question

質量為M=3.0kg的平板小車靜止在光滑水平面上，車長L=4.0m，如圖15所示．當t=0時，兩個質量都是m=1.0kg的小物體A和B，分別從左端和右端以水平速度v₁=4.0m/s和v₂=2.0m/s沖上小車，當它們在車上相碰后立刻結合在一起．已知A、B與車面的動摩擦因數(shù)都是μ=0.20，g取10m/s²，求：
（1）A、B相對車停止滑動時車的速度．
（2）A、B相對車停止滑動時在車上的位置．
（3）在0至4.0s內(nèi)小車的位移．

Answer 1

分析：（1）對A、B、C組成的系統(tǒng)，運用動量守恒定律求出相對靜止時的速度大小．
（2）由于A、B質量相同，因此對車的壓力相等，所以A、B未碰撞時所受合力為零，車保持不動，根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式求出A、B相碰前的速度和位移，根據(jù)動量守恒定律求出碰后的共同速度，再對整體分析，運用動量守恒定律和能量守恒定律求出AB在小車上相對運動的位移，從而得出A、B相對車停止滑動時在車上的位置．
（3）分析出小車在0-4s內(nèi)的運動規(guī)律，結合牛頓第二定律和運動學公式求出小車的位移．

解答：解：（1）由題意可知，A、B、C看作是一個系統(tǒng)，在水平方向上動量是守恒的，當A、B相對于車停止時三者具有相同的速度，以A初速的方向為正有：
mv₁-mv₂=（M+2m）v
得：v=

mv1-mv2

M+2m

=

4-2

5

m/s=0.4m/s
（2）由于A、B質量相同，因此對車的壓力相等，所以A、B未碰撞時所受合力為零，車保持不動，所以A、B在車上相碰時，A、B距左端的距離為S₁，有：S1=v1t-

1

2

aAt2…①
L-S1=v2t-

1

2

aBt2…②
又 aA=aB=μg=2m/s2
所以：L=(v1+v2)t-μgt2
所以：4=6t-2t²
t=1s 或 t=2s （舍去）
因此：AB相碰時離小車的左端，有：S1=v1t-

1

2

aAt2=4-

1

2

×2×12m=3 m
此時A、B的速度為v'₁、v'₂，由運動學公式：

v

′ 1

=v1-at=4-2×1m/s=2 m/s

v

′ 2

=v2-at=2-2×1m/s=0
碰撞時動量守恒，設碰后A、B的共同速度為v_AB，則有：m

v

′ 1

=2mvAB
所以有：v_AB=1m/s
AB相碰后，由動量守恒得：2mv_AB=（2m+M）v，解得：v=0.4m/s．
設達到共同速度時，AB與小車發(fā)生的相對位移為△S，此過程中系統(tǒng)的動能減少量：2mgμ△S=

1

2

(2m)

v

2 AB

-

1

2

(2m+M)v2=

mM

2m+M

v

2 AB

所以有：△S=

M

2(2m+M)gμ

v

2 AB

=

3

2(2×1+3)×0.2×10

×12m=0.15 m
AB相對車左端的位移S為：S=S₁+△S=3+0.15m=3.15 m
（3）由于小車前1秒鐘保持靜止．
小車勻加速直線運動的時間：t′=

v-vAB

-μg

=

0.4-1

-2

s=0.3 s
C相對地面發(fā)生的位移為S_C為：SC=

v

2

t′=

0.4

2

×0.3m=0.06 m
以后做勻速運動，所以小車在0至4.0秒時間內(nèi)的位移：S_車=S_C+v（4-t-t'）=0.06+0.4×2.7=1.14m．
答：（1）A、B相對車停止滑動時車的速度為0.4m/s．
（2）A、B相對車停止滑動時在車上的位置距小車左端為3.15m．
（3）在0至4.0s內(nèi)小車的位移為1.14m．

點評：解決本題的關鍵理清滑塊和小車在整個過程中的運動規(guī)律，結合動量守恒定律、能量守恒定律、牛頓第二定律和運動學公式進行求解．