Question

如圖所示，“×”型光滑金屬導軌abcd固定在絕緣水平面上，ab和cd足夠長，∠aOc =60°，虛線MN與∠bOd的平分線垂直，O點到MN的距離為L。MN左側是磁感應強度大小為B、方向豎直向下的勻強磁場。一輕彈簧右端固定，其軸線與∠bOd的平分線重合，自然伸長時左端恰在O點。一質量為m的導體棒ef平行于MN置于導軌上，導體棒與導軌接觸良好。某時刻使導體棒從MN的右側處由靜止開始釋放，導體棒在壓縮彈簧的作用下向左運動，當導體棒運動到O點時彈簧與導體棒分離，導體棒由MN運動到O點的過程中做勻速直線運動，導體棒始終與MN平行。已知導體棒與彈簧彼此絕緣，導體棒和導軌單位長度的電阻均為r₀，彈簧被壓縮后所獲得的彈性勢能可用公式Ep=kx²計算，k為彈簧的勁度系數，x為彈簧的形變量。
（1）求導體棒在磁場中做勻速直線運動過程中的感應電流的大小，并判定大小變化特點；
（2）求彈簧的勁度系數k和導體棒在磁場中做勻速直線運動時速度v₀的大小；
（3）求導體棒最終靜止時的位置距O點的距離。

Answer 1

解：（1）設導體棒在磁場中做勻速直線運動時的速度為v₀，某時刻導體棒在回路中的長度為l，則此時感應電動勢
此時回路的電阻
回路中的感應電流
因為B、v₀均為不變量，所以感應電流I為不變量　
（2）釋放導體棒后，在未進入磁場的過程中，導體棒和彈簧組成的系統機械能守恒，則有　　

導體棒在磁場中做勻速直線運動的過程中，設某時刻導體棒距O的距離為x，根據牛頓第二定律有　　

解得，　　　
（3）導體棒過O點后與彈簧脫離，在停止運動前做減速運動。設某時刻導體棒距O點的距離為x，導體棒在回路中的長度為l，加速度為a，速度為v，回路中的電流為I，根據牛頓第二定律有
又因為
所以
取一段很短的時間△t，導體棒在回路中的長度為l、加速度為a和速度為v，l、a和v可以為不變。設在這段時間內導體棒速度的變化量大小為△v，回路所圍面積的變化量為△S。將上式左右兩邊同乘以△t，可得
則導體棒從O點開始運動到靜止的過程可表示為

即
所以，
設導體棒最終靜止的位置距O點的距離為x₀，則：