Question

如圖所示，兩個可視為質(zhì)點的小球a和b，用質(zhì)量可忽略的剛性細桿相連，放置在一個光滑的半球面內(nèi)，已知小球a和b的質(zhì)量分別為

3

m、m．細桿長度是球面半徑的

2

倍．兩球處于平衡狀態(tài)時，下列說法正確的是（　　）

• A．細桿與水平面的夾角θ=30°
• B．桿對a、b球作用力的方向不一定沿桿
• C．桿對a、b球的作用力的大小為

  6

  2

  mg
• D．半球面對a、b球的彈力之比為

  3

  3

Answer 1

分析：以O(shè)為轉(zhuǎn)軸，根據(jù)力矩平衡條件求解細桿與水平面的夾角θ．由于桿的質(zhì)量忽略不計，桿所受的小球的兩個作用力必定共線方向，則知桿對a、b球作用力的方向一定沿桿．根據(jù)數(shù)學(xué)知識求出桿對a、b球的作用力的大小．對整體研究，根據(jù)平衡條件求解半球面對a、b球的彈力之比．

解答：解：由題，細桿長度是球面半徑的

2

倍，由幾何知識得知，oa⊥ob，α=45°．
A、設(shè)球面半徑為r，以O(shè)為轉(zhuǎn)軸，對整體進行研究，根據(jù)平衡條件得：m_agrcos（α+θ）=m_bgcos[90°-（α+θ）]，
又ma=

3

m，m_b=m
代入解得θ=15°．故A錯誤．
B、由于桿的質(zhì)量忽略不計，重力不計，則由平衡條件得知，桿所受的兩個小球的作用力必定共線方向，所以桿對a、b球作用力的方向一定沿桿．故B錯誤．
C、由圖，根據(jù)幾何知識得β₂=60°，由數(shù)學(xué)知識得到：

mbg

sinα

=

T

sinβ2

，代入解得，T=

6

2

mg．故C正確．
D、兩球都受到重力、細桿的彈力和球面的彈力的作用，過O作豎直線交ab于c點，設(shè)球面的半徑為R，由幾何關(guān)系可得：

mag

OC

=

FNa

r

，

mbg

OC

=

FNb

r

解得：F_Na=

3

F_Nb； 故D錯誤．
故選C

點評：本題也可用隔離法分析小球a、b的受力情況，根據(jù)正交分解法分別列平衡方程進行求解，但是求解三角函數(shù)方程組時難度很大．故本題采用了水平向上由整體列平衡方程求解的方法．