Question

一個質量m=0.1kg的正方形金屬框總電阻R=0.5Ω，金屬框放在表面是絕緣且光滑的斜面頂端，自靜止開始沿斜面下滑，下滑過程中穿過一段邊界與斜面底邊BB′平行、寬度為d的勻強磁場后滑至斜面底端BB′，設金屬框在下滑時即時速度為v，與此對應的位移為s，那么v²-s圖象如圖2所示，已知勻強磁場方向垂直斜面向上．試問：
（1）分析v²-s圖象所提供的信息，計算出斜面傾角θ和勻強磁場寬度d．
（2）勻強磁場的磁感應強度多大？
（3）金屬框從斜面頂端滑至底端所需的時間為多少？
（4）現用平行斜面沿斜面向上的恒力F作用在金屬框上，使金屬框從斜面底端BB′靜止開始沿斜面向上運動，勻速通過磁場區域后到達斜面頂端．試計算恒力F做功的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）s=0到s=1.6 m，從圖象可知，金屬框做勻加速直線運動，根據斜率求出加速度從而求出傾角．金屬框從下邊進磁場到上邊出磁場過程中做勻速直線運動，通過運動的距離，知L=d，等于勻速運動位移的一半．
（2）線圈在磁場中做勻速直線運動，根據受力平衡，求出磁感應強度．
（3）線框先做勻加速運動，再做勻速直線運動，再做勻加速直線運動，根據運動學公式求出三個時間之和．
（4）未入磁場 F-mgsinθ=ma₂，進入磁場F=mgsinθ+F_安，∴F_安=ma₂，通過安培力做功求出克服安培力做功產生的熱量，在整個過程中重力勢能的增加量可以求出，要計算恒力F做功的最小值，只要線框到達最高點的速度為0，此時做功最小．然后根據能量守恒進行求解．
解答：解：（1）s=0到s=1.6 m由公式v²=2as，該段圖線斜率k==2a==10，所以a=5m，
     根據牛頓第二定律 mgsinθ=ma，sinθ===0.5，θ=30°，
由圖得從線框下邊進磁場到上邊出磁場均做勻速運動，所以△s=2L=2d=（2.6-1.6）m=1 m，d=L=0.5m．
（2）線框通過磁場時，v₁²=16，v₁=4 m/s，
此時F_安=mg sinθ，BL=mg sinθ，B==0.5 T．
（3）t₁==s=0.8 s，t₂==s=0.25 s，s₃=（3.4-2.6）m=0.8 m，s₃=v₁t₃+a t₃²，t₃=0.2 s，
所以t=t₁+t₂+t₃=（0.8+0.25+0.2）s=1.25 s
（4）未入磁場 F-mgsinθ=ma₂，進入磁場F=mgsinθ+F_安，∴F_安=ma₂，
BL=m，v==2 m/s，F_安==0.25N
在上升過程中產生的熱量Q=2dF_安，
上升過程中重力勢能的增加量為△E_P增=mg（s₁+s₂+s₃）sinθ
當到達最高點時速度為0，該過程中做功最小．
由能量守恒得：
  最小功 W_F=2dF_安+mg（s₁+s₂+s₃）sinθ=+mg（s₁+s₂+s₃）sinθ=1.95 J．
本題答案為：（1）θ=30°，0.5m．（2）0.5 T．（3）1.25 s．（4）1.95 J．
點評：解決本題的關鍵能通過圖象分析出物體的運動狀況：先做勻加速，再做勻速，接著做勻加速．以及能對線框進行正確的受力分析和熟練運用能量守恒定律．