Question

我國北方常遭遇嚴重的沙塵暴天氣．所謂沙塵暴可簡化為如下情景：快速向上刮起的大風將大量沙塵顆粒揚起后懸浮在空中，可視為這時風對沙塵的作用力與沙塵的重力平衡．已知風對沙塵粒作用力大小的可近似表達為 f=

1

2

ρπr² v ²，式中ρ_空為空氣密度，r為沙塵粒的半徑（沙塵粒可近似看成球體，且體積V=

4

3

πr³），v為風速．如果沙塵粒的密度ρ_沙=3×10³kg/m³，沙塵粒的半徑r=2.5×10^-4m，地面的空氣密度ρ_空=1.25kg/m³，若空氣密度ρ_空 隨地面高度h的變化關系為每升高1km，空氣密度減少0.2kg/m³（g取10m/s²）．求：
（1）要形成沙塵暴現象，地面的風速至少為多少？
（2）當地面風速為8m/s時，沙塵暴的最大高度為多少？

Answer 1

（1）沙塵顆粒受重力G=mg=ρ_沙Vg=ρ_沙

4

3

πr³g與空氣作用力為f=

1

2

πρ_空r²v²作用而平衡，
在地面附近空氣密度ρ₀=1.25kg/m³，由平衡條件得：ρ_沙

4

3

πr³g=

1

2

ρ_空πr²v²，
則v=

8ρ沙rg 3ρ空

=

8×3×103kg/m3×2.5×10-4m×10N/kg 3×1.25kg/m3

=4m/s；
（2）當風速v=8m/s時，由ρ_沙

4

3

πr³g=

1

2

ρ_空′πr²v²，得：

其中ρ_空′=ρ_空-kh 

故h=

ρ空

k

-

8ρ沙rg

3v2

=

1.25

0.2

km-

8×3×103×2.5×10-4×10

3×82

km=4.7km
答：（1）要形成沙塵暴現象，地面的風速至少為4m/s；
（2）當地面風速為8m/s時，沙塵暴的最大高度為4.7km．