Question

（2009?天津）如圖所示，直角坐標(biāo)系xOy位于豎直平面內(nèi)，在水平的x軸下方存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)為B，方向垂直xOy平面向里，電場(chǎng)線平行于y軸．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的小球，從y軸上的A點(diǎn)水平向右拋出，經(jīng)x軸上的M點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)和磁場(chǎng)，恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從x軸上的N點(diǎn)第一次離開電場(chǎng)和磁場(chǎng)，MN之間的距離為L(zhǎng)，小球過M點(diǎn)時(shí)的速度方向與x軸的方向夾角為θ．不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，求
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小和方向；
（2）小球從A點(diǎn)拋出時(shí)初速度v₀的大小；
（3）A點(diǎn)到x軸的高度h．

Answer 1

分析：小球從A到M做平拋運(yùn)動(dòng)，從M到N做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，說明重力與電場(chǎng)力平衡，洛倫茲力提供向心力．由幾何知識(shí)求得半徑，進(jìn)而求出速度，并機(jī)械能守恒定律求出A點(diǎn)到x軸的高度h．

解答：解：（1）小球在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，說明電場(chǎng)力和重力平衡，則有
            qE=mg，得到E=

mg

q

                                       
        重力的方向豎直向下，則電場(chǎng)力方向豎直向上，由于小球帶正電，故電場(chǎng)強(qiáng)度方向豎直向上．
    （2）小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)其設(shè)半徑為r，由幾何關(guān)系知
                    r=

L 2

sinθ

=

L

2sinθ

                 
      小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛侖茲力提供，設(shè)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的速率為v，有
                 qvB=m

v2

r

   得v=

qBr

m

=

qBL

2msinθ

                        
         由速度分解知
                 v₀=vcosθ
          代入得到  v₀=

qBLcotθ

2m

       （3）根據(jù)機(jī)械守恒定律，有
         mgh+

1

2

m

v

2 0

=

1

2

mv2   h=

v2- v 2 0

2g

      將v₀，v代入得到h=

q2B2L2

8m2g

答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為

mg

q

，方向豎直向上；
（2）小球從A點(diǎn)拋出時(shí)初速度v₀=

qBLcotθ

2m

；
（3）A點(diǎn)到x軸的高度h=

q2B2L2

8m2g

．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問題，磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)處理的基本方法是畫軌跡，重力場(chǎng)中也可運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解．