Question

如圖所示，真空中xOy光滑絕緣水平面內，在坐標點M（L，0）固定一個點電荷-Q，坐標點N（4L，0）固定一個點電荷+2Q，以O點為圓心，半徑為2L的圓與坐標軸的交點分別為A、B、C、D．已知若取無窮遠處電勢為零，則離點電荷Q距離為r處的電勢為φ=k

Q

r

（1）猜測圓上任意一點的場強方向的特征，并加以證明
（2）用長為2L的絕緣細線系一質量為m、電量為+q帶電球，另外一端系在O點，要使小球能在細線拉力作用下做圓周運動，求其在D點的最小速度．

Answer 1

分析：（1）可猜測圓上任意一點的場強方向指向圓心，只要證明圓O是一個等勢面，即可得證．可在圓上取任意一點P（2Lcosθ，2Lsinθ），根據題中信息φ=k

Q

r

，求出兩個點電荷在P點的電勢φ_PM和φ_PN，再得到P點電勢和為φ_P=φ_PM+φ_PN，即可證明猜測是否正確．
（2）球在水平面和等勢面上運動，重力和電場力均不做功，將做勻速圓周運動，向心力由繩子拉力和電場力的合力提供．圓周上B點的場強最大，D點的場強最小，則小球經過B點時繩的拉力F最小，根據牛頓第二定律和向心力公式列式求解．

解答：解：（1）圓上任意一點的場強方向指向圓心． 
證明：如圖在圓上任意一點P（2Lcosθ，2Lsinθ）
依照題意，點電荷M在P點的電勢為：?PM=-k

Q

MP

點電荷N在P點的電勢為：?PN=k

2Q

PN

根據兩點距離公式：MP=

(2Lcosθ-L)2+(2Lsinθ-0)2

NP=

(2Lcosθ-4L)2+(2Lsinθ-0)2

則P點電勢和為：φ_P=φ_PM+φ_PN
解得：φ_P=0
即圓上各點電勢相同，且為零．根據電場線與等勢面垂直，可知圓上任意一點的場強方向直線圓心O．
（2）小球在水平面和等勢面上運動，重力和電場力均不做功，將做勻速圓周運動，向心力由繩子拉力和電場力的合力提供．圓周上B點的場強最大，D點的場強最小，則小球經過B點時繩的拉力F最小，
當F=0時，對應的速度v_B即為小球能做圓周運動的最小速度．
小球在B點時，若繩子拉力為零，則小球向心力最小，出現最小速度v．
B處的電場強度為：E=k

Q

MB2

+k

2Q

NB2

=k

Q

L2

+k

2Q

4L2

=k

3Q

2L2

由向心力公式：Eq=m

v

2

解得：v_D=

2EqL m

=

6kqQ mL

答：（1）圓上任意一點的場強方向指向圓心． 證明見上．
（2）其在D點的最小速度為

6kqQ mL

．

點評：本題是信息給予題，要以電場強度方向與等勢面垂直的特點為證明的突破口，來證明自己的猜測．