Question

如圖（a）所示，兩根足夠長、電阻不計的平行光滑金屬導軌相距為L=1m，導軌平面與水平面成θ=30°角，上端連接R=1.5?的電阻；質量為m=0.2kg、阻值r=0.5?的金屬棒ab放在兩導軌上，距離導軌最上端為d=4m，棒與導軌垂直并保持良好接觸．整個裝置處于勻強磁場中，磁場方向與導軌平面垂直，磁感應強度大小隨時間變化的情況如圖（b）所示，前4s內為B=kt．前4s內，為保持ab棒靜止，在棒上施加了一平行于導軌平面的外力F，已知當t=2s時，F恰好為零．求：
（1）k；
（2）t=3s時，電阻R的熱功率P_R；
（3）前4s內，外力F隨時間t的變化規律；
（4）從第4s末開始，外力F拉著導體棒ab以速度v沿斜面向下作勻速直線運動，且F的功率恒為P=6W，求v的大小．

Answer 1

分析：（1）在0～4s內，由法拉第電磁感應定律和閉合電路歐姆定律得到電流的表達式．根據ab棒靜止，受力平衡，t=0時刻F=0，列式求k；
（2）結合上題的結果求出t=3s時電路中的電流I，由公式P=I²R求電阻R的熱功率P_R；
（3）根據F=BIL求出安培力，利用棒子的受力平衡求出外力F的大小和方向．
（4）根據從第4s末開始，外力F拉著導體棒ab以速度v沿斜面向下作勻速直線運動，合力為零，由P=Fv求外力F，由平衡條件列式，求v．

解答：解：（1）在0～4s內，由法拉第電磁感應定律得：
回路中產生的感應電動勢為 ?=

△Φ

△t

=

△B

△t

Ld=kLd      
感應電流為 I=

?

R+r

=

kLd

R+r

               
當t=2s時，F=0，由ab棒靜止有
  mgsinθ=ktIL=

k2tL2d

R+r

                    
∴k=

mg(R+r)sinθ tL2d

=

0.2×10×(1.5+0.5)×0.5 2×12×4

=0.5（T/s）      
（2）前4s內，I=

?

R+r

=

kLd

R+r

=

0.5×1×4

1.5+0.5

A=1A                   
∴t=3s時，電阻R的熱功率P_R=I²R=1²×1.5W=1.5W                                  
（3）設沿斜面向上為F的正方向，則由ab棒受力平衡得
  F+F_A=mgsinθ
而 安培力 F_A=BIL=ktIL
∴F=mgsinθ-kILt=（0.2×10×0.5-0.5×1×1t）N=（1-0.5t）N    
（4）從第4s末開始，B=kt=2T，且不變，?=BLv，I=

?

R+r

=

BLv

R+r

則有 

p

v

+mgsinθ=BIL                                          
得：v=2m/s                                                 
答：
（1）k為0.5T/s；
（2）t=3s時，電阻R的熱功率P_R為1.5W．
（3）前4s內，外力F隨時間t的變化規律是（1-0.5t）N；
（4）v的大小為2m/s．

點評：本題是電磁感應與力學知識、電路等知識的綜合，解決本題的關鍵掌握法拉第電磁感應定律E=n

△φ

△t

=n

△B

△t

S、導體棒切割產生的感應電動勢E=BLv、安培力公式F=BIL和平衡條件．