Question

已知物體在質量為M、半徑為R的星球表面脫離的速度為υ=

2GM R

，其中G=6.67×10^-11N?m²/kg²．黑洞是一種質量十分巨大的特殊天體，因此任何物體（包括光子）都不能脫離它的束縛．
（1）天文學家根據天文觀測認為：在銀河系中心可能存在一個大黑洞，它的引力使距該黑洞60億千米的星體以2000km/s速度繞其旋轉，若視星體做勻速圓周運動，試求該黑洞的質量．?
（2）若黑洞的質量等于太陽的質量M=2×10³⁰kg，求它的可能最大半徑．
（3）在目前的天文觀測范圍內，宇宙的平均密度為10^-27kg/m³，若視宇宙是一個均勻的大球體，光子也不能逃離宇宙，則宇宙的半徑至少應為多少？

Answer 1

分析：（1）根據萬有引力提供向心力公式G

Mm

r2

=m

v2

r

即可求解；
（2）任何物體（包括光子）都不能脫離黑洞的束縛，那么黑洞表面脫離的速度應大于光速，根據c≤

2GM R

即可求解；
（3）根據質量與密度的關系先求出質量，根據（2）的分析即可求解．

解答：解：（1）根據G

Mm

r2

=m

v2

r

得：
M=

v2r

G

帶入數據解得：M=3.6×10³⁵Kg
（2）根據任何物體（包括光子）都不能脫離它的束縛，
所以c≤

2GM R

即R≤

2GM

c2

=3×10³m
所以它的可能最大半徑為3×10³m
（3）M=ρV=

4

3

πR3ρ
根據（2）的結論有：
c≤

2GM R

R≤

2GM

c2

=

2× 4 3 πR3ρG

c2

=4×10²⁵m
所以宇宙的半徑至少應為4×10²⁵m
答：（1）該黑洞的質量為3.6×10³⁵Kg．?
（2）它的可能最大半徑為3×10³m．
（3）宇宙的半徑至少應為4×10²⁵m．

點評：本題考查了萬有引力定律定律及圓周運動向心力公式的直接應用，要注意任何物體（包括光子）都不能脫離黑洞的束縛，那么黑洞表面脫離的速度應大于光速．