Question

北京奧運會期間，新投入使用的航站樓為緩解奧運會旅客運輸的交通壓力做出了很大貢獻，其行李運輸系統尤其經受了很大考驗．如圖所示是行李運輸系統的水平傳送帶，其長度為L=8.0m，皮帶輪的半徑R=0.20m，傳送帶上部距地面的高度為h=0.45m．一個旅行包（可視為質點）以v₀=10m/s的初速度從左端滑上傳送帶．旅行包與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.60．g取10m/s²．求：
（1）若傳送帶靜止，旅行包滑到B端時，若沒有人取包，旅行包將從B端滑落．包的落地點距B端的水平距離為多少？
（2）設皮帶輪順時針勻速轉動，當皮帶輪的角速度ω值在什么范圍內，包落地點距B端的水平距離始終為（1）中所得的水平距離？
（3）若皮帶輪的角速度ω₁=40rad/s，旅行包落地點距B端的水平距離又是多少？
（4）設皮帶輪以不同的角速度順時針勻速運動，畫出旅行包落地點距B端的水平距離s隨角速度ω變化的圖象（ω的取值范圍從0到100rad/s，不需要寫推導過程）

Answer 1

分析：（1）根據動能定理求出旅行包到達B端的速度，或根據牛頓第二定律求出旅行包做勻減速直線運動的加速度大小，根據速度位移公式求出旅行包到達B端的速度v_B．
包離開B點做平拋運動，根據高度求出平拋運動的時間，從而求出水平位移．
（2）為使旅行包落地點距B端的水平距離不變，即與（1）中相同．需使旅行包在傳送帶上一直減速，傳送帶的傳送速度v＜v_B．再由v=Rω，求出角速度ω．
（3）若皮帶輪的角速度ω₁=40rad/s，根據v=Rω求出皮帶線速度的大小，得知旅行包滑上傳送帶做勻減速直線運動，當包的速度減到與傳送帶相等時，由運動學公式求出包通過的位移，分析是否滑出傳送帶，再由平拋運動的規律求出旅行包落地點距B端的水平距離．
（4）當傳送帶的速度小于2m/s時，旅行包一直做勻減速直線運動，到達B端的速度為2m/s．
當傳送帶的速度大于2m/s，小于10m/s，旅行包先做勻減速直線運動，然后做勻速直線運動．
當傳送帶的速度大于10m/s，小于14m/s，旅行包先做勻加速直線運動，然后做勻速直線運動．
當傳送帶的速度大于14m/s，則旅行包一直做勻加速直線運動．根據包在傳送帶上的運動情況，作出圖象．

解答：解：（1）若傳送帶靜止，旅行包從A到B過程，由動能定理有：-μmgL=

1

2

mv

2 B

-

1

2

mv

2 0

   ①
 帶入數據可解得：v_B=2m/s      ②
旅行包從B點脫離傳送帶作平拋運動，所以其落地點距B點的水平距離為 S₀=v

2h g

=0.6m  ③
（2）為使旅行包落地點距B端的水平距離不變，即與（1）中相同．需使旅行包在傳送帶上一直減速，即傳送帶的傳送速度 v＜v_B 即Rω＜v_B   ④
代入數據可得：ω＜10rad/s     ⑤
（3）當皮帶輪的角速度為ω₁=40rad/s時，傳送帶的速度
           v₁=Rω=8m/s       ⑥
設旅行包的速度減小為v₁時，其位移為S，則有
            v

2 0

-v

2 1

=2μgS     ⑦
帶入數據可得  S=3m＜L=8.0m   ⑧
所以旅行包離開B端時的速度等于傳送帶的速度v₁，故落地點距B端的水平距離為
          S₁=v₁

2h g

=2.4m      ⑨
（4）旅行包落地點距B端的水平距離s隨角速度ω變化的圖象如下．

答：
（1）包的落地點距B端的水平距離為0.6m．
（2）設皮帶輪順時針勻速轉動，當皮帶輪的角速度ω值在ω＜10rad/s，包落地點距B端的水平距離始終為（1）中所得的水平距離．
（3）若皮帶輪的角速度ω₁=40rad/s，旅行包落地點距B端的水平距離又是2.4m．
（4）旅行包落地點距B端的水平距離s隨角速度ω變化的圖象見上．

點評：解決本題的關鍵通過傳送帶的速度，根據旅行包的受力判斷出運動規律，根據牛頓第二定律和運動學公式進行求解．