Question

（2012?嘉興二模）如圖所示，曲面PC和斜面PD固定在水平面MN上，C、D處平滑連接，O點位于斜面頂點P的正下方．某人從頂端P由靜止開始分別沿曲面和斜面滑下，經過C、D兩點后繼續運動，最后停在水平面的A、B兩處．各處材質相同，忽略空氣阻力，則（　　）

A．此人在曲面PC和斜面PD上克服摩擦力做功一定相等

B．此人沿PCA和沿PDB運動克服摩擦力做功一定不相等

C．距離OA一定等于OB

D．距離OA一定小于OB

Answer 1

分析：將曲面分成無數小段，分別求出沿斜面PD下滑以及沿曲面下滑摩擦力做功，比較大小．根據全過程運用動能定理，比較全過程克服摩擦力做功．

解答：解：A、設PD斜面與水平方向上的夾角為θ，則PD段克服摩擦力做功W_f=μmgcosθs=μmgs_PD水平．將PC段分成無數小段，由于在曲面上運動，徑向的合力提供向心力，則支持力大于重力垂直于曲面方向上的分力，則每一小段克服摩擦力做功大于μmgscosα=μmgs_水平，則整個曲面過程中，克服摩擦力做功大于μmgs_PC水平．因為斜面和曲面的水平距離未知，則克服摩擦力做功不一定相等．故A錯誤．
B、對全過程運動動能定理得，mgh-W_f=0，知此人沿PCA和沿PDB運動克服摩擦力做功一定相等．故B錯誤．
C、因為整個過程克服摩擦力做功相等，沿斜面下滑在整個過程中摩擦力做功等于μmgs_PB水平．而沿曲面下滑克服摩擦力做功大于μmgs_PA水平，則OA一定小于OB．故C錯誤，D正確．
故選D．

點評：本題的難點是比較出μmgs_PA水平與μmgs_PB水平的大小關系，對曲面段采用微分思想．