Question

如圖所示，用單位長度的電阻為r₀的均勻導線制作的矩形線框abcd的長ad為2l、寬cd為l，固定在與水平面成θ角的斜面上，長度大于l的導體棒MN平行于ab邊放置在矩形線框上緊靠ab邊的位置，導體棒質量為m，電阻不計．將線框abcd分成相等的兩個區域Ⅰ、Ⅱ，在兩區域內均加上垂直于斜面的勻強磁場，區域Ⅰ的磁感應強度為B₁，方向垂直于斜面向上，區域Ⅱ中磁場垂直于斜面向下．以a點為原點、ad方向為x正方向取坐標．
（1）導體棒MN下滑x1=

l

2

時速度為v₁，求此時導體棒MN的加速度a；
（2）當導體棒下滑x₂=l還未進入Ⅱ區的瞬間，加速度恰為零，求此時導體棒MN的速度v₂；
（3）若在區域Ⅱ所加磁場的磁感應強度的大小B₂=B₁，試判斷導體棒進入區域Ⅱ后速度是增大、不變還是減小？若要保持導體棒的速度v₂不變，則B₂與x應存在怎樣的關系？

Answer 1

分析：（1）對導體棒受力分析知，其受重力，支持力，安培力，三力作用下做勻加速直線運動，列牛頓第二定律方程可解得加速度
（2）由牛頓第二定律，加速度為零，則安培力與重力沿斜面分力平衡，由此可得此時的速度
（3）由楞次定律和左手定則可知，安培力仍沿斜面向上，可以假設速度保持不變，由（2）的結果可得速度的表達式，進而分析速度與變量x的關系，可確定速度的變化．若保持速度不變，由兩次得到的速度表達式相等，可得B₂與x的關系．

解答：解：（1）設導體棒MN下滑的距離為x，導體棒下滑時受三個力如圖所示，由牛頓第二定律得：mgsinθ-BIl=ma…①
I=

Blv

R

…②
線框abcd被導體棒MN分成并聯的兩部分，對MN兩端的總電阻為：R=

(l+2x)r0(5l-2x)r0

6lr0

=

(l+2x)(5l-2x)r0

6l

…③
將x1=

l

2

時速度為v₁代入得：a=gsinθ-

3 B 2 1 lv1

4mr0

…④
（2）當導體棒的加速度為零時，由①得：I=

mgsinθ

Bl

…⑤
由②③代入x₂=l得：I=

6B1l2v2

(3l)2r0

…⑥
聯立⑤⑥得：v2=

3mgr0sinθ

2 B 2 1 l

…⑦
（3）假設導體棒以速度v₂勻速運動，雖然磁感應強度方向與區域Ⅰ中相反，但由楞次定律和左手定則可知，安培力仍沿斜面向上，則：v2=

mgr0sinθ(l+2x)(5l-2x)

6 B 2 2 l3

…⑧
由于（l+2x）+（5l-2x）=6l為常量，因此當x=l時（l+2x）（5l-2x）最大，而式中x＞l，因此當x增大時（l+2x）（5l-2x）減小，若B₂=B₁不變，則速度一定減小，要保持速度不變，則由⑦⑧得：

3mgr0sinθ

2 B 2 1 l

=

mgr0sinθ(l+2x)(5l-2x)

6 B 2 2 l3

…⑨
解得：B2=

B1

3l

(l+2x)(5l-2x)

…⑩
答：（1）導體棒MN下滑x1=

l

2

時速度為v₁，求此時導體棒MN的加速度a=gsinθ-

3 B 2 1 lv1

4mr0

；
（2）當導體棒下滑x₂=l還未進入Ⅱ區的瞬間，加速度恰為零，此時導體棒MN的速度v2=

3mgr0sinθ

2 B 2 1 l

；
（3）若在區域Ⅱ所加磁場的磁感應強度的大小B₂=B₁，試判斷導體棒進入區域Ⅱ后速度減小，若要保持導體棒的速度v₂不變，則B₂與x關系為：B2=

B1

3l

(l+2x)(5l-2x)

點評：本題比較綜合，要掌握好閉合電路歐姆定律，楞次定律，安培定則，另外要求數學分析能力比較強，是一個難度比較大的題目．適合提高技能的學生．