Question

如圖所示，質量M=10kg，上表面光滑的足夠長的木板在F=50N的水平拉力作用下，以初速度v₀=5m/s沿水平地面向右勻速運動，現有足夠多的小鐵塊，它們的質量均為m=1kg，將一鐵塊無初速地放在木板的最右端，當木板運動了L=1m時，又無初速地在木板的最右端放上第2塊鐵塊，此后只要木板運動了L就在木板的最右端無初速地放一鐵塊．試問：（取g=10m/s²）
（1）第1塊鐵塊放上后，木板運動了1時，木板的速度為多大？
（2）最終木板上放有多少塊鐵塊？

Answer 1

分析：（1）開始木板做勻速運動，由平衡條件求出木板受到的滑動摩擦力，然后由滑動摩擦力公式求出動摩擦因數．鐵塊放在木板上后，木板對地面的壓力變大，木板受到的滑動摩擦力變大，由牛頓第二定律和運動學公式結合可以求出即將放上第1塊鐵塊時木板的速度．
（2）運用歸納法分別得到第2塊鐵塊放上后、第3塊鐵塊放上后…第n塊鐵塊放上后木板的速度表達式，得到v_n的表達式，要使木板停下，v_n=0，即可求解．

解答：解：（1）木板最初做勻速直線運動，處于平衡狀態，由平衡條件得：
豎直方向：F_N=Mg，
水平方向：F_f=F，
滑動摩擦力F_f=μF_N，則得F=μMg
解得：μ=0.5；
放第1塊鐵塊后，木板做勻減速運動，則有
  μmg=Ma₁；
  2a₁L=

v

2 0

-

v

2 1

代入數據解得，v₁=2

6

m/s
（2）設最終有n塊鐵塊能靜止在木板上．
則木板運動的加速度大小為a_n=

μnmg

M

第1塊鐵塊放上后 2a₁L=

v

2 0

-

v

2 1

第2塊鐵塊放上后 2a₂L=

v

2 1

-

v

2 2

…
第n塊鐵塊放上后  2a_nL=

v

2 n-1

-v

2 n

由以上各相加得：（1+2+3+…+n）?2

μmg

M

L=

v

2 0

-

v

2 n

要使木板停下來，必須有v_n=0，代入解得，6＜n＜7
故最終有7塊鐵塊放在木板上．
答：
（1）第1塊鐵塊放上后，木板運動了1時，木板的速度為2

6

m/s．
（2）最終木板上放有7塊鐵塊．

點評：熟練應用平衡條件、摩擦力公式、牛頓第二定律和運動學公式即可正確解題，關鍵運用歸納法，得到速度的通項．