Question

（2009?鹽城一模）如圖所示，間距為L的光滑導軌豎直固定，導軌下端接一阻值為R的電阻．t=0時在兩水平虛線L₁、L₂之間加一變化的磁場，磁感應強度B隨時間t的變化關系為B=Kt，方向垂直導軌所在平面．質量為m的金屬棒AB兩端套在導軌上并可沿導軌無摩擦滑動．在t=0時將金屬棒在L₁上方由靜止釋放，在t=t₁時進入磁場，t=t₂時穿出磁場．金屬棒剛進入磁場瞬間電流為0，穿出磁場前瞬間電流和金屬棒在L₁上方運動時電流相等．（重力加速度取g，金屬棒和導軌電阻不計）求：
（1）L₁、L₂之間的距離d；
（2）金屬棒在L₁上方運動過程中電阻上產生的熱量Q；
（3）金屬棒在穿過磁場過程中克服安培力所做的功W．

Answer 1

分析：（1）由題，金屬棒剛進入磁場瞬間電流為0，回路中動生電動勢和感生電動勢大小相等、方向相反，完全抵消．由E=BLv，v=gt₁求出動生電動勢，由法拉第電磁感應定律求出感生電動勢，聯立可求出d；
（2）根據法拉第電磁感應定律和焦耳定律結合求熱量Q；
（3）根據公式E=Blv和I=

E

R

分別得出金屬棒在L₁上方的電流和金屬棒穿出磁場前瞬間的電流表達式，聯立可求得棒穿出磁場時的速度．再由動能定理研究金屬棒穿過磁場過程，列式求出棒克服安培力所做的功W．

解答：解：（1）進入磁場瞬間回路中動生電動勢E₁=Blv，v=gt₁，B=kt₁，則得E₁=kLgt₁²．
                    感生電動勢E₂=

△Φ

△t

=

△B

△t

S =Ldk      
∵回路電流為零，
∴動生電動勢E₁與感生電動勢E₂方向相反、大小相等，即得：kLgt₁² =Ldk
∴d =gt₁ ²            
（2）金屬棒在L₁上方運動過程中電阻上產生的熱量Q=

E 2 2

R

t1=

(Ldk)2

R

t1=

L2k2g2 t 5 1

R

（3）金屬棒在L₁上方電流  I₁=

E2

R

=

Lkg t 2 1

R

金屬棒穿出磁場前瞬間電流  I₂=

E1′

R

=

B2Lv2

R

=

kt2Lv2

R

∵I₁= I₂
∴v2=

g t 2 1

t2

金屬棒穿過磁場過程中，由動能定理得：
   mgd-W=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

得W=mgd+

1

2

m(gt1)2-

1

2

m

v

2 2

=

1

2

mg2

t

2 1

(3-

t 2 1

t 2 2

)
答：
（1）L₁、L₂之間的距離d是gt₁ ²；
（2）金屬棒在L₁上方運動過程中電阻上產生的熱量Q是

L2k2g2 t 5 1

R

；
（3）金屬棒在穿過磁場過程中克服安培力所做的功W是

1

2

mg2

t

2 1

(3-

t 2 1

t 2 2

)．

點評：該類題型綜合考查電磁感應中的電路知識與法拉第電磁感應定律的應用，要求的解題的思路要規范，解題的能力要求較高．