Question

【題目】“太空粒子探測器”是由加速、偏轉和收集三部分組成.其原理可簡化如下：如圖所示，輻射狀的加速電場區域邊界為兩個同心平行半圓弧面，圓心為M，外圓弧面AB與內圓弧面CD的電勢差為U.圖中偏轉磁場分布在以P為圓心，半徑為3R的圓周內，磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向外；內有半徑為R的圓盤（圓心在P處）作為收集粒子的裝置，粒子碰到圓盤邊緣即被吸收.假設太空中漂浮著質量為m，電量為q的帶正電粒子，它們能均勻地吸附到AB圓弧面上，并被加速電場從靜止開始加速，從M點以某一速率向右側各個方向射入偏轉磁場，不計粒子間的相互作用和其他星球對粒子引力的影響。

（1）粒子到達M點的速率?

（2）若電勢差U=，則粒子從M點到達圓盤的最短時間是多少?

（3）接第（2）問，試求到達圓盤的粒子數與到達M點的粒子總數比值η。（結果用反三角函數表示，例：sinθ=k，則θ=arcsink，θ為弧度）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

(1)設粒子到達M點的速度為v，由動能定理：qU=mv2

解得：

v=，

(2)將U=代入，則有：

v==，

設該粒子軌跡半徑為r，根據：qvB=m，

解得：

r=2R，

若要時間最短，則粒子在磁場中運動的弦長最短，故從M斜向上射入，到達圓盤的粒子用時最短；如圖所示：

由幾何關系可得：ME=EO=OM=2R，

故∠MOE=，可得：

tmin=T，

因為：T=，

所以：

tmin=，

(3)若粒子以與MP成α角從M點射入磁場，軌跡恰好與圓盤相切，畫出軌跡如圖所示；

根據幾何關系找出粒子軌跡的圓心與O1剛好落在磁場的邊界上，則有：MP=O1P=3R

在等腰MPO1中作PF⊥MO1

因為PF與該粒子從M進入時的速度方向平行，故：

sinα==，

即：

α=arcsin，

若粒子以與MP垂直從M點射入磁場，軌跡也恰與圓盤相切，如圖所示；

故入射角度在arcsin至之間的粒子打在圓盤上；

故達圓盤的粒子數與到達M點的粒子總數比值：

η=；