Question

【題目】如圖所示為放置在豎直平面內游戲滑軌的模擬裝置，滑軌由四部分粗細均勻的金屬桿組成，其中傾斜直軌AB與水平直軌CD長均為L=3m，圓弧形軌道AEPD和BQC均光滑，BQC的半徑為r=1m，AEPD的半徑R=2m，DE是其豎直直徑，O1、O2分別為兩部分圓弧軌道的圓心，AB、CD與兩圓弧形軌道相切，O2A、O1Ｂ與豎直方向的夾角均為θ=37°．現有一質量為m=1kg的小球穿在滑軌上，以的初動能從B點開始沿BA向上運動，小球與兩段直軌道間的動摩擦因數均為，設小球經過軌道連接處均無能量損失。（g=10m/s2,sin37°=0．6，cos37°=0．8）求：

（1）要使小球第一次上滑過程恰能過圓弧形軌道AEPD最高點E點，初動能為多大；

（2）在滿足第（1）問的情況下小球第二次到達D點時的動能；

（3）在滿足第（1）問的情況下小球在CD段上運動的總路程．

Answer 1

【答案】（1）Ek0=48J （2）EkD=12．6J （3）

【解析】

試題分析：（1）若要使小球能夠通過圓弧APD的最高點，因小球是穿在桿上，則到達最高點時速度可以為0．

由能量守恒得：Ek0=mgR（1-cosθ）+mgLsinθ+μmgLcosθ

代入數據解得：Ek0=48J．

（2）當小球第一次回到B點時的動能為：EkB=mg2R-mgr（1+cosθ）-μmgL=12J

小球沿AB向上運動到最高點，距離B點為s，則有：EkB=mgscosθ+mgssinθ

代入解得：

小球繼續向下運動，當小球第二次到達D點時的動能為EkD=mgr（1+cosθ）+mgssinθ-μmgscosθ-μmgL=12．6J

（3）小球第二次到達D點后還剩12．6J的能量，

由于mg2R=40J，故沿DP弧上升后再返回DC段．

由于μmgL=10J，到C點小球只剩下2．6J的能量．

而mgr（1+cosθ）=18J，因此小球無法繼續上升到B點，滑到BQC某處后開始下滑，之后受摩擦力作用，小球最終停在CD上的某點．

由動能定理：

可得小球在CD上所通過的路程為：

小球通過CD段的總路程為：