Question

【題目】如圖所示，長木板Ａ右邊固定著一個擋板，包括擋板在內的總質量為1．5Ｍ，靜止在光滑的水平地面上．小木塊Ｂ質量為Ｍ，從Ａ的左端開始以初速度ｖ０在Ａ上滑動，滑到右端與擋板發生碰撞，已知碰撞過程時間極短，碰后木塊Ｂ恰好滑到Ａ的左端就停止滑動．已知Ｂ與Ａ間的動摩擦因數為μ，Ｂ在Ａ板上單程滑行長度為ｌ．求：

（1）若μｌ＝3ｖ０２／160ｇ，在Ｂ與擋板碰撞后的運動過程中，摩擦力對木板Ａ做正功還是負功?做多少功?
（2）討論Ａ和Ｂ在整個運動過程中，是否有可能在某一段時間里運動方向是向左的．如果不可能，說明理由；如果可能，求出發生這種情況的條件．

Answer 1

【答案】（1）0.068Ｍｖ０2（2）2ｖ０2／15ｇ＜μｌ≤3ｖ０2／20ｇ

【解析】（1）Ｂ與Ａ碰撞后，Ｂ相對于Ａ向左運動，Ａ所受摩擦力方向向左，Ａ的運動方向向右，故摩擦力作負功．設Ｂ與Ａ碰撞后的瞬間Ａ的速度為ｖ１，Ｂ的速度為ｖ２，Ａ、Ｂ相對靜止后的共同速度為ｖ，整個過程中Ａ、Ｂ組成的系統動量守恒，有

Ｍｖ０＝（Ｍ＋1.5Ｍ）ｖ

解得：ｖ＝2ｖ０／5．

碰撞后直至相對靜止的過程中，系統動量守恒，機械能的減少量等于系統克服摩擦力做的功，即Ｍｖ２＋1．5Ｍｖ１＝2.5Ｍｖ①

×1．5Ｍｖ１2＋Ｍｖ２2－×2．5Ｍｖ2＝Ｍμｌｇ，②

可解出ｖ１＝ｖ０（另一解ｖ１＝ｖ０因小于ｖ而舍去）

這段過程中，Ａ克服摩擦力做功

Ｗ＝×1．5Ｍｖ１2－×1．5Ｍｖ2＝Ｍｖ０2（0.068Ｍｖ０2）．

（2）Ａ在運動過程中不可能向左運動，因為在Ｂ未與Ａ碰撞之前，Ａ受到的摩擦力方向向右，做加速運動，碰撞之后Ａ受到的摩擦力方向向左，做減速運動，直到最后，速度仍向右，因此不可能向左運動．

Ｂ在碰撞之后，有可能向左運動，即ｖ２＜0．先計算當ｖ２＝0時滿足的條件，由①式，得

ｖ１＝（2ｖ０／3）－（2ｖ２／3），

當ｖ２＝0時，ｖ１＝2ｖ０／3，代入②式，

得（×1.5Ｍ×）－（×2.5Ｍ×）＝Ｍμｇl

解得μｌｇ＝

Ｂ在某段時間內向左運動的條件之一是μｌ＜

另一方面，整個過程中損失的機械能一定大于或等于系統克服摩擦力做的功，即

Ｍｖ０2－2．5Ｍ（）2≥2Ｍμｌｇ，

解出另一個條件是

最后得出Ｂ在某段時間內向左運動的條件是．