Question

（2006?廣州一模）未來人類要通過可控熱核反應取得能源，要持續發生熱核反應，必須把溫度高達幾百萬攝氏度以上的核材料約束在一定的空間內．約束的辦法有多種，其中技術上相對較成熟的是用磁場約束核材料，稱為“托卡馬克”裝置．如圖所示為這種裝置的簡化模型：有環形邊界的勻強磁場（b區域）圍著磁感應強度為零的圓形a區域，a區域內的離子向各個方向運動，離子的速度只要不超過某值，就不能穿過環形磁場的外邊界而逃逸，從而被約束．
設環形磁場的內半徑R₁=0.50m，外半徑R₂=1.0m，若磁場的磁感應強度B=1.0T，被約束的離子比荷

q

m

=4.0×10⁷C/kg．
（1）完成核反應方程：

3 2

He+

2 1

H→

4 2

He+

4 2

He+

1 1

H

．
（2）若a區域中沿半徑0M方向射入磁場的離子不能穿出磁場的外邊界，粒子的速度不能超過多大？
（3）若要使從a區域沿任何方向射入磁場的速率為2×10⁷m/s的離子都不能越出磁場的外邊界，則b區域磁場的磁感應強度B至少要有多大？

Answer 1

分析：（1）離子進入磁場由洛倫茲力提供向心力，半徑r=

mv

qB

，離子速度越大，半徑越大．若a區域中沿半徑OM方向射入磁場的離子不能穿過磁場，軌跡半徑最大時，軌跡與磁場外邊界圓相切，由幾何知識求出軌跡圓的半徑，再由半徑公式求速度的最大值．
（2）粒子沿環狀域的內邊界圓的切線方向射入磁場時，此時的軌道半徑為最小的軌道半徑，此時粒子若不能出磁場，則所以粒子都不會出磁場，根據幾何關系求出軌道半徑，再通過軌道半徑公式求出最大的速度．

解答：解：（1）核反應方程中，質量數守恒，核電荷數守恒，所以有：

3 2

He+

2 1

H→

4 2

He+

1 1

H
（2）速度越大，軌跡圓半徑越大，要使沿0M方向運動的離子不能穿越磁場，則其在環形磁場內的運動軌跡圓中最大者與磁場外邊界圓相切    
設軌跡圓的半徑為r₁，則：

r

2 1

+

R

2 1

=(R2-r1)2   
代入數據解得  r₁=0.375m          
設沿該圓運動的離子速度為v₁，qv1B=

m v 2 1

r1

即 v1=

Bqr1

m

代入數據得v₁=1.5×10⁷m/s                    
（3）設離子以v₂的速度沿與內邊界圓相切的方向射入磁場且軌道與磁場外圓相切時，則以該速度沿各個方向射入磁場區的離子都不能穿出磁場邊界  （也可用圖形表達   1分）
設軌跡圓的半徑為r₂，則r2=

R2-R1

2

=0.25m              
設磁場的磁感強度為B?，由 B?=

mv2

qr2

代入數據得     B′=2.0T    
答：（1）

3 2

He+

2 1

H→

4 2

He+

1 1

H
（2）速度最大為v₁=1.5×10⁷m/s                    
（3）則b區域磁場的磁感應強度B至少要有2.0T．

點評：本題對數學幾何的能若a區域中沿半徑OM方向射入磁場的離子不能穿過磁場，粒子的速度不能超過力要求較高，關鍵找出臨界的半徑，再通過帶電粒子在磁場中的半徑公式求出臨界的速度．