Question

(25分)圖示為一固定不動的絕緣的圓筒形容器的橫截面，其半徑為R，圓筒的軸線在O處.圓筒內有勻強磁場，磁場方向與圓筒的軸線平行，磁感應強度為B.筒壁的H處開有小孔，整個裝置處在真空中.現有一質量為m、電荷量為q的帶電粒子P以某一初速度沿筒的半徑方向從小孔射入圓筒，經與筒壁碰撞后又從小孔射出圓筒.設：筒壁是光滑的，P與筒壁碰撞是彈性的，P與筒壁碰撞時其電荷量是不變的.若要使P與筒壁碰撞的次數最少，問：

1.P的速率應為多少？

2.P從進入圓筒到射出圓筒經歷的時間為多少？

Answer 1

解析：

1.如圖1所示，設筒內磁場的方向垂直紙面指向紙外，帶電粒子P帶正電，其速率為v.P從小孔射入圓筒中因受到磁場的作用力而偏離入射方向，若與筒壁只發生一次碰撞，是不可能從小孔射出圓筒的.但與筒壁碰撞兩次，它就有可能從小孔射出.在此情形中，P在筒內的路徑由三段等長、等半徑的圓弧HM、MN和NH組成.現考察其中一段圓弧MN，如圖2所示.由于P沿筒的半徑方向入射，OM和ON均與軌道相切，兩者的夾角

　　　　(1)

　　設圓弧的圓半徑為r，則有　　(2)

　　圓弧對軌道圓心O′所張的圓心角　　(3)

　　由幾何關系得　　(4)

　　解(2)、(3)、(4)式得　　(5)

　

　2.P由小孔射入到第一次與筒壁碰撞所通過的路徑為s=βr　　(6)

　　經歷時間為　　(7)

　　P從射入小孔到射出小孔經歷的時間為t=3t₁　　(8)

　　由以上有關各式得　　(9)

　　評分標準：(本題25分)

　　1.17分.(1)、(2)、(3)、(4)式各3分，(5)式5分.

　　2.8分.(6)、(7)、(8)、(9)式各2分.