Question

（2013·北京豐臺一模，24題）（20分）

       如圖所示，豎直平面內有一半徑為r、內阻為R₁、粗細均勻的光滑半圓形金屬環，在M、N處與相距為2r、電阻不計的平行光滑金屬軌道ME、NF相接，EF之間接有電阻R₂，已知R₁＝12R，R₂＝4R。在MN上方及CD下方有水平方向的勻強磁場I和II，磁感應強度大小均為B。現有質量為m、電阻不計的導體棒ab，從半圓環的最高點A處由靜止下落，在下落過程中導體棒始終保持水平，與半圓形金屬環及軌道接觸良好，兩平行軌道中夠長。已知導體棒ab下落r/2時的速度大小為v₁，下落到MN處的速度大小為v₂。

（1）求導體棒ab從A下落r/2時的加速度大小。

（2）若導體棒ab進入磁場II后棒中電流大小始終不變，求磁場I和II之間的距離h和R₂上的電功率P₂。

（3）當導體棒進入磁場II時，施加一豎直向上的恒定外力F=mg的作用，求導體棒ab從開始進入磁場II到停止運動所通過的距離和電阻R₂上所產生的熱量。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）（6分）以導體棒為研究對象，棒在磁場I中切割磁感線，棒中產生產生感應電動勢，導體棒ab從A下落r/2時，導體棒在重力與安培力作用下做加速運動，

由牛頓第二定律，得                 ①（1分）

式中                                      ②（1分）   

                                         ③（1分）                  

＝4R                         ④（2分）

由以上各式可得到                   ⑤（1分）

（2）（8分）當導體棒ab通過磁場II時，若安培力恰好等于重力，棒中電流大小始終不變，即，                             ⑥（1分）

                              ⑦（1分）

(或)

式中　　               ⑧（1分）

解得                      ⑨（2分）

導體棒從MN到CD做加速度為g的勻加速直線運動，有

                          ⑩ （1分）

得　　                    （2分）

（3）（6分）由動量定理得    （1分）

     即         

     即                     （1分）

        聯立⑨解得                 （1分）

       停下來過程中重力做正功、外力F和安培力做負功，由動能定理有

             

所以產生總熱量為

                                     （1分）

       在電阻R₂上產生的熱量為           （1分）

       聯立⑨解得：            （1分）