Question

【題目】如圖所示，寬度為L的平行光滑的金屬軌道，左端為半徑為r1的四分之一圓弧軌道，右端為半徑為r2的半圓軌道，中部為與它們相切的水平軌道．水平軌道所在的區域有磁感應強度為B的豎直向上的勻強磁場．一根質量為m的金屬桿a置于水平軌道上，另一根質量為M的金屬桿b由靜止開始自左端軌道最高點滑下．當b滑入水平軌道某位置時，a就滑上了右端半圓軌道最高點(b始終運動且a、b未相撞)，并且a在最高點對軌道的壓力大小為mg，此過程中通過a的電荷量為q，a、b棒的電阻分別為R1、R2，其余部分電阻不計．在b由靜止釋放到a運動到右端半圓軌道最高點過程中，求：

(1)在水平軌道上運動時，b的最大加速度是多大？

(2)a剛到達右端半圓軌道最低點時b的速度是多大？

(3)自b釋放到a到達右端半圓軌道最高點過程中系統產生的焦耳熱是多少？

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】試題分析：b棒從左側軌道下滑的過程中，只有重力做功，其機械能守恒，求出b進入剛進入水平軌道時的速度大小．進入水平軌道后b棒切割磁感線產生感應電流，a棒由于受到安培力作用向右運動，回路中產生的感應電動勢將要減小，感應電流也減小，則知b棒的加速度減小，則b棒剛進入磁場時加速度最大，由牛頓第二定律和安培力公式結合求解．當兩棒都在水平軌道上運動時，兩棒組成的系統合外力為零，動量守恒，可求出a剛到達右端半圓軌道最低點時b的速度；此過程中通過a的電荷量為q，根據動量定理求出b棒后來的速度．對a棒：由牛頓運動定律求出通過最高點時的速度，由機械能守恒定律求出離開磁場時的速度．由能量守恒定律即可求解系統產生的焦耳熱．

（1）由機械能守恒定律得：

解得：

b剛滑到水平軌道時加速度最大，有

根據：E＝BLvb1

由牛頓第二定律有F安＝BIL＝Ma

解得

(2)a由最低點到最高點，由能量守恒定律，有

解得：

由a剛開始運動至到達半圓軌道最低點，由動量守恒定律有

Mvb1＝Mvb3＋mva2

解得

(3)由動量定理有－BILt＝Mvb2－Mvb1

即－BLq＝Mvb2－Mvb1

解得

a在半圓軌道最高點，有

根據牛頓第三定律得N＝N′＝mg

解得

從b釋放至a到達右端半圓軌道最高點過程中，

由能量守恒定律，有

解得: