Question

如圖所示，在以坐標原點O為圓心，半徑為R的半圓形區域內，有相互垂直的勻強電場和勻強磁場，磁感應強度為B，磁場方向垂直于xOy平面向里．一帶正電的粒子（不計重力）從O點沿y軸正方向以某一速度射人，帶電粒子恰好做勻速直線運動，經t₀時間從P點射出．
（1）電場強度的大小和方向．
（2）若僅撤去磁場，帶電粒子仍從O點以相同的速度射入，經t₀/2 時間恰從半圓形區域的邊界射出，求粒子運動加速度大小．
（3）若僅撤去電場，帶電粒子仍從O點射入但速度為原來的4倍，求粒子在磁場中運動的時間．
（4）若僅撤去電場，O點處有一帶正電的粒子源電性、質量、電量及初速大小都一樣．（不計重力）從O點沿各個方向以某一速度射入磁場都做半徑為R/2的勻速圓周運動試用斜線在圖中畫出粒子在磁場中可能出現的區域．要求有簡要的文字說明．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子沿y軸做直線運動，說明粒子的受力平衡，即受到的電場力和磁場力大小相等，從而可以求得電場強度的大小；
（2）僅有電場時，帶電粒子在勻強電場中作類平拋運動，根據類平拋運動的規律可以求得粒子運動加速度大小；
（3）僅有磁場時，入射速度v′=4v，帶電粒子在勻強磁場中作勻速圓周運動，由幾何關系可以求得圓周運動的半徑的大小，由周期公式可以求得粒子的運動的時間．

解答：解：（1）設粒子從O點進入時的速度為v₀，由于粒子勻速直線運動，由洛倫茲力公式及共點力平衡條件有：qE-qv₀B=0．
由勻速直線運動位移公式有：R=v₀t₀．解得：E=

RB

t0

，方向沿x軸正向．
（2）撤去磁場后，粒子在勻強電場中做類平拋運動，由勻變速、勻速直線運動位移公式有：x=v0

t0

2

，y=

1

2

a(

t0

2

)2．
由于粒子從磁場的半圓邊界射出，故有：x²+y²=R²，
代入R=v₀t₀解得：a=

4 3 R

t 2 0

．
（3）撤去電場后粒子進入磁場區域后做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力．由左手定則可知，圓心O′在x軸負半軸上，粒子的運動軌跡如圖所示．
對粒子的圓周運動運用牛頓第二定律及洛倫茲力公式有：q(4v0)B=m

(4v0)2

r

．
聯立以上各式，解得：r=

3 R

3

．
由幾何關系可知：sinα=

R

2r

，代入r=

3 R

3

解得：α=

π

3

．

粒子在磁場中運動的時間為：t=

α

2π

?T=

π 3

2π

?

2πm

qB

=

3 π

18

t0
（4）粒子在磁場中可能出現的區域：如圖水平向右入射的粒子是粒子出現區域的右邊界，左側是以O為圓心，以2R為半徑的圓．

以OP=R為直徑的半圓以及以0為圓心OP=R為
半徑的圓與磁場相交的部分，繪圖如圖．        
答：（1）電場強度的大小：E=

RB

t0

，方向沿x軸正向．
（2）粒子運動加速度大小a=

4 3 R

t 2 0

．
（3）帶電粒子仍從O點射入但速度為原來的4倍，粒子在磁場中運動的時間

3 π

18

t0．
（4）粒子在磁場中可能出現的區域如圖．

點評：本題考查帶電粒子在勻強磁場中的運動，要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運動軌跡后，幾何關系就比較明顯了．