Question

如圖所示，從光滑的

1

4

圓弧槽的最高點滑下的小球，滑出槽口時速度為水平方向，槽口與一個半球頂點相切，半球底面為水平，已知圓弧槽的半徑為R₁，半球的半徑為R₂．求：
（1）小球運動到

1

4

圓弧槽的底部對圓弧槽的底部壓力為多少？
（2）若要使小球滑出槽口后不沿半球面下滑，則R₁與R₂應滿足什么關系？
（3）若小球剛好不沿半球面下滑，則小球落地時的動能為多少？

Answer 1

分析：（1）根據機械能守恒定律求出小球滑出槽口時速度，在槽口根據向心力公式列式即可求解；
（2）若要使小球滑出槽口后不沿半球面下滑，可知重力恰好或不足以提供向心力而作平拋運動；
（3）根據機械能守恒定律即可求解．

解答：解：（1）小球滑出槽口時速度為v，
根據機械能守恒定律得：mgR1=

1

2

mv2①
在槽口時：N-mg=m

v2

R1

②
由①②式解得：N=3mg
由牛頓第三定律得：N′=N=3mg   方向：豎直向下
（2）若要使小球滑出槽口后不沿半球面下滑，可知重力恰好或不足以提供向心力而作平拋運動．
即mg≤m

v2

R2

③
由①③兩式聯立解得R₁與R₂應滿足的關系是：
R1≥

1

2

R₂
（3）由機械能守恒得：Ek=

1

2

mv2+mgR2=

3

2

mgR2
答：（1）小球運動到

1

4

圓弧槽的底部對圓弧槽的底部壓力為3mg，方向豎直向下；
（2）若要使小球滑出槽口后不沿半球面下滑，則R₁與R₂應滿足R1≥

1

2

R₂；
（3）若小球剛好不沿半球面下滑，則小球落地時的動能為

3

2

mgR2．

點評：本題關鍵根據機械能守恒定律和向心力公式列式，同時要注意在最低點，重力不足于提供繞半球運動所需的向心力．