Question

【題目】遙控電動玩具車的軌道裝置如圖所示，軌道ABCDEF中水平軌道AB段和BD段粗糙，AB=BD=2.5R，小車在AB和BD段無制動運行時所受阻力是其重力的0.02倍，軌道其余部分摩擦不計。斜面部分DE與水平部分BD、圓弧部分EF均平滑連接，圓軌道BC的半徑為R，小段圓弧EF的半徑為4R，圓軌道BC最高點C與圓弧軌道EF最高點F等高。軌道右側有兩個與水平軌道AB、BD等高的框子M和N，框M和框N的右邊緣到F點的水平距離分別為R和2R。額定功率為P，質量為m可視為質點的小車，在AB段從A點由靜止出發以額定功率行駛一段時間t（t未知）后立即關閉電動機，之后小車沿軌道從B點進入圓軌道經過最高點C返回B點，再向右依次經過點D、E、F，全程沒有脫離軌道，最后從F點水平飛出，恰好落在框N的右邊緣。

（1）求小車在運動到F點時對軌道的壓力；

（2）求小車以額定功率行駛的時間t；

（3）要使小車進入M框，小車采取在AB段加速（加速時間可調節），BD段制動減速的方案，則小車在不脫離軌道的前提下，在BD段所受總的平均制動力至少為多少。

Answer 1

【答案】（1）mg，方向豎直向下；（2）；（3）mg

【解析】

（1）小車平拋過程，有：2R=vFt…①

2R=gt2②

由①②聯立解得：vF=③

在F點，對小車由牛頓第二定律得：mg﹣FN=m④

由③④得：FN=mg

由牛頓第三定律得小車對軌道的壓力大小為mg，方向豎直向下。

（2）小車從靜止開始到F點的過程中，由動能定理得：

Pt﹣0.02mg5R﹣mg2R=mvF2⑤

由③⑤得：t=

（3）平拋過程有： R=vFt、2R=gt2

要使小車進入M框，小車在F點的最大速度為vF=⑥

小車在C點的速度最小設為vC，則有：mg=m⑦

設小車在BD段所受總的總的平均制動力至少為f，小車從C點運動到F點的過程中，由動能定理得：

-f2.5R=mvF2-mvC2⑧

由⑥⑦⑧得：f=mg