Question

【題目】一宇航員站在某質量分布均勻的星球表面的斜坡上的P點沿水平方向以初速度v0拋出一個小球，測得小球經時間t落到斜坡上另一點Q，斜面的傾角為α，已知該星球半徑為R，萬有引力常量為G，求：

（1）該星球表面的重力加速度；

（2）該星球的密度；

（3）該星球的第一宇宙速度v；

（4）人造衛星繞該星球表面做勻速圓周運動的最小周期T．

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ；（3）；（4）

【解析】試題分析：根據平拋運動規律列出水平方向和豎直方向的位移等式，結合幾何關系求出重力加速度；忽略地球自轉的影響，根據萬有引力等于重力列出等式．根據密度公式求解；該星球的近地衛星的向心力由萬有引力提供，該星球表面物體所受重力等于萬有引力，聯立方程即可求出該星球的第一宇宙速度。

（1）設該星球表現的重力加速度為g，根據平拋運動規律：

水平方向：

豎直方向：

平拋位移與水平方向的夾角的正切值：

解得：

（2）在星球表面有： ，星球的密度為： ，聯立以上解得：

（3）在星球表面有： ，根據萬有引力提供向心力： ，解得： ，聯立以上解得：

（4）繞星球表面運行的衛星具有最小的周期，即：