Question

如圖半徑分別為2R和R的甲、乙兩光滑圓形軌道固定放置在同一豎直平面內，兩軌道之間由一條水平軌道CD相連，曲面軌道與水平面軌道在B處光滑連接（物塊經過B點時沒有機械能損失），現有一小物塊從斜面上高h處的A點由靜止釋放，曲面軌道以及水平軌道BC段是光滑的，小物塊與CD段以及D右側的水平軌道間的動摩擦因數均為μ。已知小物塊通過甲軌道最高點時與軌道間壓力為物塊重力的3倍，而后經過有摩擦的CD段后又進入乙軌道運動。
（1）求初始釋放物塊的高度h
（2）為避免出現小物塊脫離圓形軌道乙而發生撞軌現象，則CD段的長度應滿足什么條件？

Answer 1

（1）（2）

（1）---------- ①
 ---------- ②
已知
得 ---------- ③
（2）若能通過最高點有：
---------- ④
---------- ⑤
因為 所以有 ---------- ⑥
得 
得---------- ⑦
若不能到達圓心對應的水平線以上，則速度可減小到零，設能上升的高度為h’，有：---------- ⑧
---------- ⑨
得---------- ⑩
評分細則：①④⑦⑧⑩各2分，②③⑤⑥⑨各1分，共15分。
本題考查動能定理和圓周運動，從最高點到達甲的最高點，由動能定理（只有重力做功）可求得在最高點的速度大小，在最高點由重力和彈力的合力提供向心力，列公式求解，在第二問中，通過最高點的最小速度是只有重力提供向心力，設此時距離為x，根據動能定理列出到達最高點動能的公式，只有重力提供向心力，由此可求得速度大小，再由動能定理求得距離x表達式，求解不等式皆可