Question

【題目】如圖為遙控玩具小車比賽軌道的示意圖，第一部分由斜面軌道AB、圓弧軌道BCD與斜面軌道DE拼接而成，圓弧BCD的圓心恰在O點(diǎn)，第二部分由水平軌道EF、圓形軌道FGF與特殊材料水平軌道FH組成，直線軌道與圓弧軌道平滑相切，圓軌道F處前后略有錯(cuò)開，小車可從一側(cè)滑上再?gòu)牧硪粋?cè)滑出。已知軌道AB與DE的傾角均為，長(zhǎng)度均為，軌道FGF的半徑，玩具車在AB與DE軌道上受到的阻力為壓力的0.25，在FH軌道上受到的阻力為壓力的1.5倍，其余軌道摩擦阻力及空氣阻力均不計(jì)。已知玩具車輸出功率恒為，電動(dòng)機(jī)工作時(shí)間可調(diào)控，玩具車質(zhì)量，可視為質(zhì)點(diǎn)。，。求：

(1)玩具車以多大初速度從A點(diǎn)彈出，恰好能沿軌道自行上滑到C點(diǎn)；

(2)玩具車以恒定功率從A點(diǎn)由靜止啟動(dòng)，電動(dòng)機(jī)至少工作多長(zhǎng)時(shí)間才能完成完整的圓周運(yùn)動(dòng)；

(3)已知軌道“受力因子k”是車對(duì)軌道的壓力與車重力的比值，要求滿足在圓周內(nèi)且玩具車能無動(dòng)力完成完整比賽，求玩具車的停止點(diǎn)H與F點(diǎn)的可能距離。

Answer 1

【答案】（1）；（2）3.3s；（3）

【解析】

(1)玩具車剛好達(dá)到C點(diǎn)時(shí)，速度剛好為0，由動(dòng)能定理得

由題圖可知

聯(lián)立解得初速度

(2)玩具車剛好通過圓周最高點(diǎn)G時(shí)，由重力恰好提供向心力得

從A點(diǎn)恰好運(yùn)動(dòng)到G的過程，由動(dòng)能定理得

聯(lián)立解得發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間

(3)玩具車恰好完成完整比賽的條件下，從最高點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)F的過程，由機(jī)械能守恒定律得

在F點(diǎn)由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得

解得對(duì)軌道壓力為

此時(shí)受力因子

符合題意。F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到H點(diǎn)過程，由動(dòng)能定理得

解得

當(dāng)時(shí)，有

解得

則有