Question

如圖所示，一個質量為m，帶+q電量的粒子在BC邊上的M點以速度v垂直于BC邊飛入正三角形ABC．為了使該粒子能在AC邊上的N點垂直于AC邊飛出該三角形，可在適當的位置加一個垂直于紙面向里、磁感應強度為B的勻強磁場．若此磁場僅分布在一個也是正三角形的區域內，且不計粒子的重力，試求：
（1）畫出正三角形區域磁場的邊長最小時的磁場區域及粒子運動的軌跡．
（2）該粒子在磁場里運動的時間t．
（3）該正三角形區域磁場的最小邊長．

Answer 1

分析：根據題意，畫出粒子運動的軌跡，根據幾何關系可求解粒子在磁場里運動的時間以及正三角形區域的最小邊長．

解答：解：（1）由洛倫茲力提供向心力得：qvB=

mv2

r

，
且周期T=

2πr

v

T=

2πr

v

=

2πm

qB

，
得軌道半徑r=

mv

qB

，
周期：T=

2πm

qB

由題意知，粒子剛進入磁場時應該先向左偏轉，不可能直接在磁場中由M點作圓周運動到N點，當粒子剛進入磁場和剛離開磁場時，其速度方向應該沿著軌跡的切線方向并垂直于半徑，如圖作出

（2）粒子的運動軌跡為圓弧GDEF，圓弧在G點與初速度方向相切，在F點與射出的速度方向相切，畫出三角形abc，其與圓弧在D、E點相切，并與圓O交與F、G兩點，即為所求最小磁場區域，由數學知識可知，∠FOG=60°該粒子在此磁場里運動的時間：
t=

5

6

T=

5πm

3qB

；
（3）aH為底邊cb上的高，aH=aO+OH=2r+rcos30°
則正三角形區域磁場的最小邊長為：L=

aH

cos30°

=

2r+rcos30°

cos30°

，
解得L=

mv

qB

(

4 3

3

+1)
答：（1）磁場區域及粒子運動的軌跡如上圖．（2）該粒子在磁場里運動的時間

5πm

qB

；（3）該正三角形區域磁場的最小邊長

mv

qB

(

4 3

3

+1)；

點評：本題關鍵是能夠根據題意正確的畫出粒子運動的軌跡，利用幾何關系求解，側重于考查能力，有一定的難度．