Question

【題目】如圖甲為傾角θ=30°的絕緣光滑勻質(zhì)直角斜面體，其直角棱固定在水平地面上的光滑轉(zhuǎn)動(dòng)軸上，斜面長(zhǎng)l=2m。斜面體頂端固定一個(gè)半徑r=m的輕質(zhì)絕緣光滑圓弧軌道，圓弧軌道和斜面體底邊中點(diǎn)在同一豎直平面內(nèi)，斜面體與圓弧軌道平滑連接，圓弧軌道頂端的切線(xiàn)方向恰好豎直。其正視圖如圖乙所示。圓弧軌道所在的空間區(qū)域有豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小E=1.0×103V/m，圓弧軌道上方和下方均無(wú)電場(chǎng)。一個(gè)帶電量q=+1.0×10﹣3C、質(zhì)量m=0.1kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從斜面體底邊中點(diǎn)處以初速度v0=m/s垂直底邊沿斜面向上滑動(dòng)，斜面體始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，不計(jì)空氣阻力，g=10m/s2。試求：

（1）小滑塊能夠上升到距離地面的最大高度；

（2）為使斜面體始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，斜面體的質(zhì)量至少是多大？

Answer 1

【答案】（1）2.6m（2）0.075kg

【解析】

（1）由已知條件可得 qE=mg=1.0N，所以小滑塊在圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，

由幾何關(guān)系可知，圓弧軌道對(duì)應(yīng)的圓心角為60°，設(shè)小滑塊能夠上升到距離地面的最大高度為h．由動(dòng)能定理得

解得h=2.6m （h＞lsin30°+rsin60°=2.5m，答案合理）

（2）為使斜面體始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，設(shè)斜面體的質(zhì)量至少是M．滑塊在斜面上滑動(dòng)時(shí)對(duì)斜面體的壓力為mgcosθ，且到達(dá)斜面頂端時(shí)力臂最大，所以要使滑塊在斜面上滑動(dòng)時(shí)保持斜面體靜止，必須滿(mǎn)足

解得

M=0.075kg

由qE=mg知，小滑塊在圓弧軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所需的向心力等于軌道對(duì)滑塊的壓力．由牛頓第三定律知，滑塊對(duì)軌道的壓力等于向心力，且滑塊在軌道頂端時(shí)對(duì)斜面體的力矩最大，所以要使滑塊在圓弧軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)保持斜面體靜止，斜面體的質(zhì)量至少滿(mǎn)足其重力力矩等于此時(shí)滑塊對(duì)軌道的壓力力矩．設(shè)滑塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度為v，根據(jù)力矩平衡條件有

滑塊從斜面底端滑到斜面頂端過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律有

解得

M=0.05mg；

綜上所述，

M=0.075kg