Question

（14分）如圖所示，質量為m可看作質點的小球從靜止開始沿斜面由點A滑到點B后，進入與斜面平滑連接的1/4豎直圓弧管道BC，管道出口為C，圓弧管道半徑R＝15cm，A、B的豎直高度差h＝35cm，在緊靠出口C處有一水平放置且繞其水平軸勻速旋轉的圓筒（不計筒皮厚度），筒上開有小孔D，筒旋轉時小孔D恰好能經過出口C處。若小球射出C口時，恰好能接著穿過D孔，并且再從D孔向上穿出圓筒，小球返回后又先后兩次向下穿過D孔而未發生碰撞，不計摩擦和空氣阻力，問：

（1）小球到達C的速度v_C為多少？
（2）圓筒轉動的最大周期T為多少？
（3）在圓筒以最大周期T轉動的情況下，要完成上述運動圓筒的半徑R’必須為多少？

Answer 1

（1）v₀＝2m/s（2）0.2s（3）0.075m

（1）A®C：mgh＝mgR＋ mv₀²（2分），得v₀＝2m/s（1分），
（2）向上穿出時間t₁＝T，k＝1,2,¼（2分），
穿出后到最高點時間t₂＝T，n＝1,2,¼（2分），
又v₀＝g（t₁＋t₂）（1分），得T＝s，當n＝k＝1時T_max＝0.2s（2分），
（3）2R’＝v₀t₁－gt₁²（2分），得R’＝0.075m（2分），
本題考查動能定理和圓周運動規律的應用，由A到C應用動能定理可求得C點速度大小，由于圓筒轉動的周期性，經過半個周期的奇數倍時物體能從C點穿出，于是得到周期T的表達式，由此N=1時周期最大，當圓通取最大周期時，小球在圓通內做豎直上拋運動，位移為2R，由此可求得圓筒半徑大小