Question

（20分）回旋加速器在核科學、核技術、核醫學等高新技術領域得到了廣泛應用，有力地推動了現代科學技術的發展。

⑴當今醫學影像診斷設備PET/CT堪稱“現代醫學高科技之冠”，它在醫療診斷中，常利用能放射正電子的同位素碳11作示蹤原子。碳11是由小型回旋加速器輸出的高速質子轟擊氮14獲得，同時還產生另一粒子，試寫出核反應方程。若碳11的半衰期τ為20min，經2.0h剩余碳11的質量占原來的百分之幾？（結果取2位有效數字）
⑵回旋加速器的原理如圖，D₁和D₂是兩個中空的半徑為R的半圓金屬盒，它們接在電壓一定、頻率為f的交流電源上，位于D₁圓心處的質子源A能不斷產生質子（初速度可以忽略，重力不計），它們在兩盒之間被電場加速，D₁、D₂置于與盒面垂直的磁感應強度為B的勻強磁場中。若質子束從回旋加速器輸出時的平均功率為P，求輸出時質子束的等效電流I與P、B、R、f的關系式（忽略質子在電場中的運動時間，其最大速度遠小于光速）。
⑶試推理說明：質子在回旋加速器中運動時，隨軌道半徑r的增大，同一盒中相鄰軌道的半徑之差Δr是增大、減小還是不變？

Answer 1

                

（1）核反應方程為                                                  ①
設碳11原有質量為m₀，經過t=2.0h剩余的質量為m_t，根據半衰期定義，有：
                                                          ②
（2）設質子質量為m，電荷量為q，質子離開加速器時速度大小為v，由牛頓第二定律知：
                                                                        ③
質子運動的回旋周期為：                                             ④
由回旋加速器工作原理可知，交變電源的頻率與質子回旋頻率相同，由周期T與頻率f的關系可得：
                                                                            ⑤
設在t時間內離開加速器的質子數為N，則質子束從回旋加速器輸出時的平均功率
                                                                      ⑥
輸出時質子束的等效電流為：                                                 ⑦
由上述各式得
若以單個質子為研究對象解答過程正確的同樣給分
（3）方法一：
設k（k∈N*）為同一盒子中質子運動軌道半徑的序數，相鄰的軌道半徑分別為r_k，r_k+1（r_k>r_k+1），
，在相應軌道上質子對應的速度大小分別為v_k，v_k+1，D₁、D₂之間的電壓為U，由動能定理知                                                                   ⑧
由洛倫茲力充當質子做圓周運動的向心力，知，則           ⑨
整理得                                                           ⑩
因U、q、m、B均為定值，令，由上式得                          ⑾
相鄰軌道半徑r_k+1，r_k+2之差
同理
因為r_k+2> r_k，比較，得
說明隨軌道半徑r的增大，同一盒中相鄰軌道的半徑之差減小
方法二：
設k（k∈N*）為同一盒子中質子運動軌道半徑的序數，相鄰的軌道半徑分別為r_k，r_k+1（r_k>r_k+1），
，在相應軌道上質子對應的速度大小分別為v_k，v_k+1，D₁、D₂之間的電壓為U
由洛倫茲力充當質子做圓周運動的向心力，知，故                     ⑿
由動能定理知，質子每加速一次，其動能增量                                 ⒀
以質子在D₂盒中運動為例，第k次進入D₂時，被電場加速（2k﹣1）次
速度大小為                                                       ⒁
同理，質子第（k+1）次進入D₂時，速度大小為
綜合上述各式可得
整理得，

同理，對于相鄰軌道半徑r_k+1，r_k+2，，整理后有

由于r_k+2> r_k，比較，得
說明隨軌道半徑r的增大，同一盒中相鄰軌道的半徑之差減小，用同樣的方法也可得到質子在D₁盒中運動時具有相同的結論。