Question

（2011?四川模擬）如圖所示，兩平行的、間距為d的光滑金屬導軌b₁b₂b₃b₄、c₁c₂c₃c₄分別固定在豎直平面內，整個導軌平滑連接，b₂b₃、c₂c₃位于同一水平面（規定該水平面的重力勢能為零），其間有一邊界為b₂b₃c₃c₂的、方向豎直向上的勻強磁場，磁感應強度大小為B，導軌兩端均連有電阻為R的白熾燈泡．一長為d的金屬桿PN與兩導軌接觸良好，其質量為m、電阻為

1

4

R．若金屬桿從導軌左側某一位置開始以初速度υ₀滑下，通過磁場區域后，再沿導軌右側上滑至其初始位置高度一半時速度恰為零，此后金屬桿做往復運動．金屬桿第一次通過磁場區域的過程中，每個燈泡產生的熱量為Q，重力加速度為g，除金屬桿和燈泡外其余部分的電阻不計．求：
（1）金屬桿第一次通過磁場區域的過程中損失的機械能．
（2）金屬桿初始位置的高度．
（3）金屬桿第一次通過磁場區域的過程中加速度的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于方向豎直向上的勻強磁場位于水平導軌部分，所以金屬桿第一次通過磁場區域的過程中損失的機械能具體說是動能轉化為回路的電能，而回路的電能最終消耗在兩個燈泡和金屬桿的電阻上．易錯點就是忽視金屬桿有電阻

1

4

R，設通過每一個燈泡的電流有效值I，則回路總電流即通過金屬桿的電流有效值為2I，金屬桿第一次通過磁場的時間為t，由于每一個燈泡產生的電熱Q=I²Rt，則金屬桿產生Q′=(2I)2

R

4

t=I2Rt=Q，根據能量守恒金屬桿第一次通過磁場區域的過程中損失的機械能△E=3Q．
（2）第二小題解決思路是利用金屬桿在水平導軌上運動時動能轉化為回路的電熱．設金屬桿第一次進、出磁場的初、末速度為v₁、v₂，而金屬桿的初動能（從下落到進入磁場前金屬桿機械能守恒

1

2

m

v

2 0

+mgh=

1

2

m

v

2 1

）、末動能（從出磁場到上升到另一側最高點

1

2

h金屬桿機械能守恒有

1

2

m

v

2 2

=mg

h

2

）均與初始位置的高度h有關，從而列出一個關于h的方程：(

1

2

mv02+mgh)-   mg

h

2

=3Q求解；
（3）第三小題由金屬桿的切割速度v確定動生電動勢E=Bdv，金屬棒充當電源，內阻為

R

4

，外電阻是兩個燈泡電阻并聯

R

2

，回路總電流I=

E

R 2 + R 4

=

Bdv

3R 4

=

4Bdv

3R

通過金屬桿，確定安培力大小F_安=IdB=

4Bdv

3R

dB=

4B2d2v

3R

，而安培力方向與運動方向向反，所以金屬桿做減速運動，安培力隨著速度的減少而減小，加速度減小，所以進入金屬桿進入磁場時加速度最大，出磁場時加速度最小，由牛頓第二定律確定加速度大小范圍，

解答：解：（1）設金屬桿第一次通過磁場區域的過程中損失的機械能為△E，
燈泡的并聯電阻為：R₁=

1

2

R　　　　　　　　　　　　①
回路總電阻：R₂=

1

4

R+

1

2

R=

3

4

R　　　　　　　　　②
由焦耳定律，得：

2Q

R1

=

△E

R2

　　　　　　　　　 　③
由①②③，得：△E=3Q                            ④
金屬桿第一次通過磁場區域的過程中損失的機械能為3Q
（2）設金屬桿第一次進、出磁場區域的速度分別為v₁，v₂，金屬桿開始下滑的高度為h，
由能量的轉化與守恒定律有：△E=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 2

               ⑤
由機械能守恒定律有：

1

2

m

v

2 0

+mgh=

1

2

m

v

2 1

                 ⑥
                     

1

2

m

v

2 2

=

1

2

mgh                        ⑦
由④⑤⑥⑦，得：h=

6Q-m v 2 0

mg

　　　　　　　　　　　　　　　�、�
金屬桿初始位置的高度

6Q-m v 2 0

mg

（3）設金屬桿第一次進、出磁場區域時的加速度分別為a₁，a₂，
當金屬桿剛進入磁場時產生的電動勢為：E₁=Bdv₁ 
回流電流：I₁=

E1

R2

金屬桿受到的安培力為F₁=BI₁d
由牛頓第二定律有：F₁=ma₁
由②⑥⑧及以上四式，得：a₁=

4d2B2

3mR

12Q-m v 2 0 m

同理可得：a₂=

4d2B2

3mR

6Q-m v 2 0 m

金屬桿第一次通過磁場區域的過程中加速度的取值范圍：

4d2B2

3mR

12Q-m v 2 0 m

≥a≥

4d2B2

3mR

6Q-m v 2 0 m

點評：本題的第一小題，易錯點是忽視金屬桿的電阻產熱．對于這類問題，理清解題的思路很重要，本題屬于易錯題．