Question

（20分）同步加速器在粒子物理研究中有重要的應用，其基本原理簡化為如圖所示的模型。M、N為兩塊中心開有小孔的平行金屬板。質量為m、電荷量為+q的粒子A（不計重力）從M板小孔飄入板間，初速度可視為零，每當A進入板間，兩板的電勢差變為U，粒子得到加速，當A離開N板時，兩板的電荷量均立即變為零。兩板外部存在垂直紙面向里的勻強磁場，A在磁場作用下做半徑為R的圓周運動，R遠大于板間距離，A經電場多次加速，動能不斷增大，為使R保持不變，磁場必須相應地變化。不計粒子加速時間及其做圓周運動產生的電磁輻射，不考慮磁場變化對粒子速度的影響及相對論效應。求

（1）A運動第1周時磁場的磁感應強度B₁的大小；
（2）在A運動第n周的時間內電場力做功的平均功率；
（3）若有一個質量也為m、電荷量為+kq（k為大于1的整數）的粒子B（不計重力）與A同時從M板小孔飄入板間，A、B初速度均可視為零，不計兩者間的相互作用，除此之外，其他條件均不變，下圖中虛線、實線分別表示A、B的運動軌跡。在B的軌跡半徑遠大于板間距離的前提下，請指出哪個圖能定性地反映A、B的運動軌跡，并經推導說明理由。

Answer 1

（1）；（2）；（3）A圖能定性地反映A、B運動的軌跡；

試題分析：（1）設A經電場第1次加速后速度為v₁，由動能定理得
         ①
A在磁場中做勻速圓周運動，所受洛倫茲力充當向心力
       ②
聯立解得：          ③
（2）設A經n次加速后的速度為v_n，由動能定理得
            ④
設A做第n次圓周運動的周期為T_n，有
              ⑤
設在A運動第n周的時間內電場力做功為W_n，則
     ⑥
在該段時間內電場力做功的平均功率為
        ⑦
聯立解得：          ⑧
（3）A圖能定性地反映A、B運動的軌跡。
A經地n加速后，設其對應的磁感應強度為B_n，A、B的周期分別為、，綜合②⑤式并分別應用A、B的數據得


由上可知，是的k倍，所以A每繞得1周，B就繞行k周。由于電場只在A通過時存在，故B僅在與A同時進入電場時才被加速。
經n次加速后，A、B的速度分別為、，結合④式有


由題設條件并結合⑤式，對A有

設B的軌跡半徑為，有

比較以上兩式得

上式表明，運動過程B的軌跡半徑始終不變。
由以上分析可知，兩粒子運動的軌跡如圖A所示。