Question

如圖所示，質量M=4kg的小車靜止于光滑水平面上，并靠近固定在水平面上的桌子右邊，其上表面與光滑的水平桌面相平，桌面邊緣放有一質量為m₂=2kg的小滑塊Q．水平輕彈簧左端固定，質量m₁=0.5kg的小物塊P置于桌面上的A點并與彈簧的右端接觸，此時彈簧處于原長．現用水平向左的推力將P緩慢推至B點（彈簧仍在彈性限度內），推力做功為W_F=16J，撤去推力后，P沿桌面運動并與Q發生碰撞，碰后P向左運動至A、B的中點時速度恰好為零，而Q最終停在小車上．已知同一輕彈簧具有的彈性勢能與其形變量的平方成正比，Q與小車表面間動摩擦因數μ=0.3，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）P與Q碰撞前的速度大小v₀和P與Q碰撞過程中系統損失的機械能△E
（2）小車的長度L至少為多少．

Answer 1

（1）壓縮彈簧具有彈性勢能：E_P=W_F=16J，
當彈簧完全推開物塊P時有：E_P=

1

2

mv₀²，
解得：v₀=

2EP m1

=

2×16 0.5

=8m/s，
設P、Q發生碰撞后的速度大小分別為v₁、v₂，
則由題設有：

1

2

m₁v₁²=

1

4

E_P，
代入數據解得：v₁=4m/s；
P與Q碰撞過程動量守恒，以P的初速度方向為正方向，由動量守恒定律得：
m₁v₀=-m₁v₁+m₂v₂，
代入數據解得：v₂=3m/s，
所以P與Q碰撞過程中系統損失的機械能：
△E=

1

2

m₁v₀²-

1

2

m₁v₁²-

1

2

m₂v₂²，
代入數據解得：△E=3J；
（2）設小滑塊Q最終停在小車上，它們一起運動的速度為v，以Q的速度初速度方向為正方向，由動量守恒定律得：
m₂v₂=（M+m₂）v，
代入數據解得：v=

m2v2

M+m2

=

2×3

4+2

=1m/s，
由能量守恒定律得：μm₂gd=

1

2

m₂v₂²-

1

2

（M+m₂）v²，
解得：d=

m2 v 22 -(M+m2)v2

2μm2g

=

2×32-(4+2)×12

2×0.3×2×10

=1m，
所以小車的長度至少為L=1m；
答：（1）P與Q碰撞前的速度大小v₀和P與Q碰撞過程中系統損失的機械能為3J．
（2）小車的長度L至少為1m．