Question

如圖所示，de和fg是兩根足夠長且固定在豎直方向上的光滑金屬導軌，導軌間距離為L，電阻忽略不計．在導軌的上端接電動勢為E，內阻為r的電源．一質量為m、電阻為R的導體棒ab水平放置于導軌下端e、g處，并與導軌始終接觸良好．導體棒與金屬導軌、電源、開關構成閉合回路，整個裝置所處平面與水平勻強磁場垂直，磁場的磁感應強度為B，方向垂直于紙面向外．已知接通開關S后，導體棒ab由靜止開始向上加速運動，求：
（1）導體棒ab剛開始向上運動時的加速度以及導體棒ab所能達到的最大速度；
（2）導體棒ab達到最大速度后電源的輸出功率；
（3）分析導體棒ab達到最大速度后的一段時間△t內，整個回路中能量是怎樣轉化的？并證明能量守恒．

Answer 1

分析：（1）根據閉合電路歐姆定律列式求解電流，根據安培力公式求解安培力，根據牛頓第二定律求解加速度；當安培力和重力平衡時速度最大，根據平衡條件和閉合電路歐姆定律列式后聯立求解；
（2）電源的輸出功率等于總功率減去內電阻消耗的功率；
（3）電源的電能轉化為導體棒的機械能和電路中產生的焦耳熱之和，分別求解出電能、機械能、內能即可證明．

解答：解：（1）導體棒ab剛開始運動時的速度為零，由歐姆定律
I=

E

R+r

                                     
導體棒ab受安培力 F_A=BIL   
牛頓第二定律    F_A-mg=ma 
導體棒ab開始運動時的加速度 a=

ELB

m(R+r)

-g          
設導體棒ab向上運動的最大速度為v_max，當導體棒所受重力與安培力相等時，達到最大速度，回路電流為I′
根據平衡條件，有I′LB=mg                                 
解得I′=

mg

BL

由歐姆定律 I′=

E-BLvmax

R+r

  
得  v_max=

EBL-mg(R+r)

B2L2

   
（2）電源的輸出功率  P=EI′-I′²r  
P=

Emg

BL

-(

mg

BL

)2r            
（3）電源的電能轉化為導體棒的機械能和電路中產生的焦耳熱之和
△t時間內：電源的電能△E_電=EI′△t=

mgE

BL

△t    
導體棒ab增加的機械能
△E_機=mgv_max△t=mg

EBL-mg(R+r)

B2L2

△t
電路中產生的焦耳熱 Q=I′²（R+r）△t=

m2g2

B2L2

（R+r）△t    
△t時間內，導體棒ab增加的機械能與電路中產生的焦耳熱之和為△E’
△E′=△E_機+Q                         
△E′=mg

EBL-mg(R+r)

B2L2

△t+

m2g2

B2L2

（R+r）△t
整理得△E′=

mgE

BL

△t     
由此得到△E_電=△E′，回路中能量守恒．
答：（1）導體棒ab剛開始向上運動時的加速度為

ELB

m(R+r)

-g，導體棒ab所能達到的最大速度為

EBL-mg(R+r)

B2L2

；
（2）導體棒ab達到最大速度后電源的輸出功率為

Emg

BL

-(

mg

BL

)2r；
（3）導體棒ab達到最大速度后的一段時間△t內，整個回路中電源的電能轉化為導體棒的機械能和電路中產生的焦耳熱之和，證明如上．

點評：本題是力電綜合問題，關鍵明確導體棒的運動情況和回路中的能量轉化情況，較難．