Question

（2009?閘北區二模）如圖所示，一個半徑為R的半球形的碗固定在桌面上，碗口水平，O點為其球心，碗的內表面及碗口是光滑的．一根輕質細線跨在碗口上，線的兩端分別系有小球A和B，當它們處于平衡狀態時，小球A與O點的連線與水平線的夾角為60°．
（1）求小球A與小球B的質量比m_A：m_B
（2）辨析題：現將A球質量改為2m、B球質量改為m，且開始時A球位于碗口C點，由靜止沿碗下滑，當A球滑到碗底時，求兩球的速率為多大？
某同學解法如下：當A球滑到碗底時，A球下降的高度為R，B球上升的高度為

2

R，根據機械能守恒定律有：mAgR-mBg

2

R=

1

2

mA

v

2 A

+

1

2

mB

v

2 B

①且  v_A=v_B②代入數據，解①、②兩式即可求得兩球的速率．
你認為上述分析是否正確？如果你認為正確，請完成此題；如果你認為不正確，請指出錯誤，并給出正確的解答．

Answer 1

分析：（1）先對m_B球受力分析，受重力和拉力，二力平衡，求出拉力；再對m_A球受力分析，根據共點力平衡條件列式求解．
（2）A球在碗底時，v_A不等于v_B，應將v_A沿繩和垂直于繩的方向分解，沿繩子方向的分速度即等于你B球的速度v_B的大小．再根據機械能守恒定律列式解決．

解答：解：（1）設繩上拉力為T，碗對A球的彈力為N，根據對稱性可得：N=T
由平衡條件：2Tcos30°=m_Ag
對B球，受拉力與重力平衡得：T=m_Bg
聯立得：mA：mB=

3

：1
（2）不正確．
A球在碗底時，v_A不等于v_B，應將v_A沿繩和垂直于繩的方向分解，沿繩子方向的分速度即等于你B球的速度v_B的大小．
即：vB=vAsin45°=

2

2

vA
根據機械能守恒定律有：mAgR-mBg

2

R=

1

2

mA

v

2 A

+

1

2

mB

v

2 B

mAgR-mBg

2

R=

1

2

mA

v

2 A

+

1

2

mB(

2

2

vA)2
可得：vA=

4(2- 2 )gR 5

vB=

2(2- 2 )gR 5

答：（1）小球A與小球B的質量比為：mA：mB=

3

：1，
（2）不正確．兩球的速率為：vA=

4(2- 2 )gR 5

vB=

2(2- 2 )gR 5

．

點評：本題是簡單的連接體問題，先分析受力最簡單的物體，再分析受力較復雜的另一個物體，同時要運用正交分解法處理較為方便．
注意連接體中兩個物體的速度大小不一定相等．要應用速度的分解求出兩個小球的速率關系．