Question

某種加速器的理想模型如圖1所示：兩塊相距很近的平行小極板中間各開有一小孔、，兩極板間電壓的變化圖象如圖2所示，電壓的最大值為、周期為，在兩極板外有垂直紙面向里的勻強磁場。若將一質量為、電荷量為的帶正電的粒子從板內孔處靜止釋放，經電場加速后進入磁場，在磁場中運動時間后恰能再次從孔進入電場加速。現該粒子的質量增加了。（粒子在兩極板間的運動時間不計，兩極板外無電場，不考慮粒子所受的重力）
【小題1】若在時刻將該粒子從板內孔處靜止釋放，求其第二次加速后從孔射出時的動能；
【小題2】現要利用一根長為的磁屏蔽管（磁屏蔽管置于磁場中時管內無磁場，忽略其對管外磁場的影響）使圖1中實線軌跡（圓心為）上運動的粒子從孔正下方相距處的孔水平射出，請在答題卡圖上的相應位置處畫出磁屏蔽管；
【小題3】若將電壓的頻率提高為原來的2倍，該粒子應何時由板內孔處從靜止開始加速，才能經多次加速后獲得最大動能？最大動能是多少？

Answer 1

【小題1】
【小題2】圖略（將磁屏蔽管豎直放置，放在與實線圓相切處，上端與點同高。）
【小題3】）（在區間粒子最多被連續加速次，當時刻也恰好被加速的情況下，最終獲得的動能最大。因此開始時刻。對應的最大動能為

解析


本題考查帶電粒子在磁場中的圓周運動和在電場中的加速運動以及用數學解決物理問題的能力．關鍵是判斷怎樣才能得到最大動能即何時加速，加速電壓多大
（1）求第二次加速后從b孔射出時的動能只需知道加速時所對應的電壓即可．
質量為m₀的粒子在磁場中作勻速圓周運動，有
，，   則
當粒子的質量增加了 ，其周期增加,
根據題圖2可知，粒子第1次的加速電壓 ,
經過第二次加速，設第2次加速電壓U₂，如圖3所示，在三角形中，有 ，
所以粒子第2次的加速電壓 ,粒子射出時的動能
解得 .
（2）因為磁屏蔽管使粒子勻速運動至以下L處，出管后仍然做圓周運動，可到C點水平射出．磁屏蔽管的位置和粒子運動的軌跡如圖4．
（3）如圖5，設T₀=100，U₀=50，得到在四分之一周期內的電壓隨時間變化的圖象。
從圖象可以看出，時間每改變（圖象中為1），電壓改變為（圖象中為4），所以圖象中電壓分別為50，46，42，38，…10，6，2，共13個 . 設某時刻t，u=U₀時被加速，此時刻可表示為 ,靜止開始加速的時刻t₁為，其中n=12，將n=12代入得 ,
因為，在u＞0時，粒子被加速，則最多連續被加速的次數： ，得N=25．所以只能取N=25，解得  , 由于電壓的周期為，所以

故粒子由靜止開始被加速的時刻
故加速時的電壓分別   ,
根據動能定理可知：粒子的最大動能等于加速電壓做的總功，即 
解得: