Question

（2009?深圳一模）如圖所示，在傾角為30°的光滑斜面上固定一光滑金屬導軌CDEFG，圖中OH∥CD∥FG，∠DEF=60°，CD=DE=EF=FG=OE=L；一根質量為m、長度為2L的導體棒AB在電機牽引下，以恒定速度v₀沿OH方向從斜面底端滑上導軌并到達斜面頂端，O是AB棒的中點，AB⊥OH．金屬導軌的CD、FG段電阻不計，DEF段與AB棒材料與橫截面積均相同，單位長度的電阻均為r，整個斜面處在垂直斜面向上、磁感應強度為B的勻強磁場中．求：
（1）導體棒在導軌DEF上滑動時電路中電流的大小；
（2）導體棒運動到DF位置時AB兩端的電壓；
（3）將導體棒從底端拉到斜面頂端過程電機對桿做的功．

Answer 1

分析：（1）根據感應電動勢公式得出電動勢與有效長度的關系，由題意得到電阻與有效長度的關系，根據歐姆定律得到導體棒在導軌DEF上滑動時電路中電流的大小；
（2）AB兩端的電壓等于AD、DF、FB三段感應電動勢之和．AD、FB兩段電壓等于感應電動勢．DF段根據電壓分配求出．
（3）根據功能關系可知，導體棒從底端拉到斜面頂端過程電機對桿做的功等于導體棒增加的重力勢能與電路產生的熱量之和．AB棒在DEF上滑動時產生的電熱Q₁，數值上等于克服安培力做的功．

解答：解：（1）設AB棒等效切割長度為l，則
        感應電動勢為E=Blv₀                                                 
        回路電阻為R=3lr
       回路電流為I=

E

R

=

Bv0

3r

                                                  
    （2）AB棒滑到DF處時
      AB兩端的電壓U_BA=U_DA+U_FD+U_BF
         U_DA+U_BF=BLv₀
         而U_DF=

2lr

3lr

BLv0=

2

3

BLv0                                                        
       得U_BA=U_DA+U_FD+U_BF=

5

3

BLv0
    （3）導體棒重力勢能的增加量△E_P=mg（2L+Lcos30°）sin30°=

4+ 3

4

mgL                              
     AB棒在DEF上滑動時產生的電熱Q₁，數值上等于克服安培力做的功Q₁=W_安   
        又因為F安∝S，如圖，故 Q₁=W_安=

0+F安max

2

?

3

2

L=

3 B2L2v0

12r

    AB棒在CDFG導軌上滑動時產生的電熱Q₂，電流恒定，電阻不變
        則Q₂=I²Rt=（

Bv0

3r

）²?3Lr?

L

v0

=

B2L2v0

3r

 得，電機做的功W=△E_P+Q₁+Q₂=

4+ 3

4

(mgL+

B2L2v0

3r

)   
答：（1）導體棒在導軌DEF上滑動時電路中電流的大小為流為

Bv0

3r

；  
     （2）導體棒運動到DF位置時AB兩端的電壓為

5

3

BLv0；
     （3）將導體棒從底端拉到斜面頂端過程電機對桿做的功是

4+ 3

4

(mgL+

B2L2v0

3r

)．

點評：本題難點在于求AB棒在DEF上滑動時產生的電熱，根據導體棒克服安培力做功求解．容易出現的錯誤有兩處：一是求AB的電壓只考慮DF段電壓．二是AB棒在DEF上滑動的距離當作Lsin30°．