Question

【題目】如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉的水平轉臺上，轉臺轉軸與過陶罐球心O的對稱軸OO/重合，轉臺以一定角速度ω勻速旋轉，一質量為m的小物塊落入陶罐內，經過一段時間后，小物塊隨陶罐一起轉動且相對罐壁靜止，它和O點的連線與OO/之間的夾角θ為45°。已知重力加速度大小為g，小物塊與陶罐之間的最大靜摩擦力大小為不變。（結果可用根式表示）

（1）若小物塊受到的摩擦力恰好為零，求此時的角速度ω0；

（2）若小物塊一直相對陶罐靜止，求陶罐旋轉的角速度的范圍。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：1）當摩擦力為零，支持力和重力的合力提供向心力，有：mgtanθ＝mRsinθω02，

解得：

（2）當ω＞ω0時，重力和支持力的合力不夠提供向心力，當角速度最大時，摩擦力方向沿罐壁切線向下達最大值，設此最大角速度為ω1，由牛頓第二定律得，fcosθ+FNsinθ＝mRsinθω12

fsinθ+mg=FNcosθ

聯立以上三式解得：

當ω＜ω0時，重力和支持力的合力大于所需向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向上，當角速度最小時，摩擦力向上達到最大值，設此最小角速度為ω2

由牛頓第二定律得，FNsinθfcosθ＝mRsinθω22，

mg=FNcosθ+fsinθ，

聯立解得：

故陶罐旋轉的角速度的范圍