Question

火星和地球繞太陽的運動可以看作為同一平面內同方向的勻速圓周運動，已知火星的軌道半徑R=1.5×10¹¹m，地球的軌道半徑r=1.0×10¹¹m，從如圖所示的火星與地球相距最近的時刻開始計時，估算火星再次與地球相距最近需多少地球年？（保留兩位有效數字）

Answer 1

【答案】分析：根據萬有引力提供向心力，可得，對于和火星都有同樣的關系，所以，這樣可以解出火星的周期．兩星轉過的角度之差△θ==2 π，可以解得t，即為火星再次與地球相距最近需要的時間．
解答：解：設行星質量為m，太陽質量為M，行星與太陽的距離為r，地球的周期為T₁，火星的周期為T₂，地球的軌道半徑為r₁，火星的軌道半徑為r₂．
根據萬有引力定律，行星受太陽的萬有引力
行星繞太陽做近似勻速圓周運動，
根據牛頓第二定律有F=ma=mω²r
ω═
以上式子聯立
故
地球的周期為1年，

火星的周期為T₂=1.8年
設經時間t兩星又一次距離最近，
根據θ=ωt
則兩星轉過的角度之差
△θ==2 π
得t=2.3年．
答：火星再次與地球相距最近需2.3地球年．
點評：本題也可運用開普勒周期定律求解火星的周期，這種方法更簡潔．此題難度不大，屬于中檔題．