Question

我國發(fā)射的“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿近似于圓形的軌道繞月飛行．為了獲得月球表面全貌的信息，讓衛(wèi)星軌道平面緩慢變化．衛(wèi)星將獲得的信息持續(xù)用微波信號(hào)發(fā)回地球．設(shè)地球和月球的質(zhì)量分別為M和m，地球和月球的半徑分別為R和R₁，月球繞地球的軌道半徑和衛(wèi)星繞月球的軌道半徑分別為r和r₁，月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為T．假定在衛(wèi)星繞月運(yùn)行的一個(gè)周期內(nèi)衛(wèi)星軌道平面與地月連心線共面，求在該周期內(nèi)衛(wèi)星發(fā)射的微波信號(hào)因月球遮擋而不能到達(dá)地球的時(shí)間（用M、m、R、R₁、r、r₁和T表示，忽略月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)遮擋時(shí)間的影響）．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出地球和月球的平面示意圖，作出地月球面的公切線，找出衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)出的信號(hào)被遮擋所在的圓弧．
根據(jù)萬有引力定律求出探月衛(wèi)星繞月球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期．
由幾何關(guān)系求出發(fā)出的信號(hào)被遮擋所在的圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角，再結(jié)合周期求出信號(hào)被遮擋的時(shí)間．

解答：解：
如圖，O和O′分別表示地球和月球的中心．在衛(wèi)星軌道平面上，A是地月連心線OO′與地月球面的公切線ACD的交點(diǎn)，D、C和B分別是該公切線與地球表面、月球表面和衛(wèi)星圓軌道的交點(diǎn)．根據(jù)對(duì)稱性，過A點(diǎn)在另一側(cè)作地月球面的公切線，交衛(wèi)星軌道于E點(diǎn)．衛(wèi)星在BE弧運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)出的信號(hào)被遮擋．設(shè)探月衛(wèi)星的質(zhì)量為m₀，萬有引力常量為G，根據(jù)萬有引力定律有
G

Mm

r2

=m(

2π

T

)2r     
G

mm0

r   2 1

=m₀(

2π

T1

)2r₁     
式中，T₁是探月衛(wèi)星繞月球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期．
得　(

T1

T

)2=

M

m

(

r1

r

)3　　
設(shè)衛(wèi)星的微波信號(hào)被遮擋的時(shí)間為t，則由于衛(wèi)星繞月做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
令∠CO′A=α，∠CO′B=β；則

t

T1

=

α-β

π

     
由幾何關(guān)系得rcosα=R-R₁　    
r₁cosβ=R₁　　     
得  t=

T

π

M r 3 1 mr   3

(arccos

R-R1

r

-arccos

R1

r1

)　　
答：在該周期內(nèi)衛(wèi)星發(fā)射的微波信號(hào)因月球遮擋而不能到達(dá)地球的時(shí)間為得t=

T

π

M r 3 1 mr   3

(arccos

R-R1

r

-arccos

R1

r1

)

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是要能夠根據(jù)題意作出物理情景圖象，找出所要求解的運(yùn)動(dòng)區(qū)域．
數(shù)學(xué)幾何關(guān)系的應(yīng)用也是解決本題的關(guān)鍵．